Zadanie - układ równań - metoda przeciwnych współczynników
Treść zadania:
Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) \(\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}\\ -4x-2y=1 \end{cases}\)
c) \(\begin{cases} 3x-y=5\\-6x+2y=-1 \end{cases}\)
Rozwiązanie części a)
Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, mnożąc obie strony pierwszego równania przez liczbę \(-\sqrt{2}\).
\(\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}/\cdot -\sqrt{2}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}\)
\(\begin{cases} -2x+\sqrt{12}y=-\sqrt{10}\\ \ \ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}\)
Przy zmiennej \(x\) mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami, uwzględniając dodatkowo rachunki \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\):
\(\underline{_+\begin{cases} -2x+2\sqrt{3}y=-\sqrt{10}\\ \ \ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}}\)
\(\cancel{-2x}+\cancel{2x}+2\sqrt{3}y+4y=-\cancel{\sqrt{10}}+\cancel{\sqrt{10}}\)
\((4+2\sqrt{3})y=0/:(4+2\sqrt{3})\)
\(y=0\)
Wyznaczoną wartość zmiennej \(y\) wstawiamy do dowolnego równania. My wykorzystamy pierwsze równanie:
\(\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ y=0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \sqrt{2}x-0=\sqrt{5}/:\sqrt{2}\\ y=0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\y=0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\\ y=0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=0 \end{cases}\)
Odpowiedź
Rozwiązanie części b)
Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, mnożąc obie strony pierwszego równania przez liczbę 2.
\(\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}/\cdot 2 \\ -4x-2y=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4x+2y=-1\\ -4x-2y=1 \end{cases}\)
Przy zmiennej \(x\) mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami:
\(\underline{_+\begin{cases} 4x+2y=-1\\ -4x-2y=1 \end{cases}}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=0\)
Otrzymaliśmy równość prawdziwą dla każdej wartości zmiennych \(x\) i \(y\), to znaczy, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ równań zależnych).
Odpowiedź
Rozwiązanie części c)
Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, mnożąc obie strony pierwszego równania przez liczbę 2.
\(\begin{cases} 3x-y=5/\cdot 2 \\-6x+2y=-1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 6x-2y=10\\-6x+2y=-1 \end{cases}\)
Przy zmiennej \(y\) mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami:
\(\underline{_+\begin{cases} 6x-2y=10\\-6x+2y=-1\end{cases}}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=9\)
Otrzymaliśmy równość nieprawdziwą, to znaczy, że układ równań nie ma rozwiązań (układ równań sprzecznych).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-26, ZAD-639
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
Zadanie nr 2.
Znaleźć współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=-5x+3\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) \(\begin{cases} 3x-2y=-4 \\ x+3y=-5\end{cases}\)
b) \(\begin{cases} \sqrt{3}x+4y=1\\ x+2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) \(\begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) \(\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} 5x+5y=-7\\ -3x-2y=4 \end{cases}\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:
A. \(P=(1,2)\)
B. \(P=(-1,2)\)
C. \(P=(-1,-2)\)
D. \(P=(1,-2)\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:
A. \(P=(1,2)\)
B. \(P=(-1,2)\)
C. \(P=(-1,-2)\)
D. \(P=(1,-2)\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których wykresy funkcji \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=5-ax\), przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Układ równań
\(\begin{cases}x-y=3\\ 2x+0,5y=4 \end{cases}\)
opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie:
A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.
Zadanie nr 10 — maturalne.
W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta AB przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
Wskaż ten układ:
A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}"\)
C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}"\)
D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań
\(\begin{cases} ax+y=5\\-2x+3y=2a\end{cases}\)
dla:
A. \(a=-1\)
B. \(a=1\)
C. \(a=-2\)
D. \(a=2\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.
A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)
C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)
D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.
Zadanie nr 15 — maturalne.
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 11x-11y=1\\22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb \(x=x_0, y=y_0\). Wtedy
A. \(x_0>0\) i \(y_0>0\)
B. \(x_0>0\) i \(y_0<0\)
C. \(x_0<0\) i \(y_0>0\)
D. \(x_0<0\) i \(y_0<0\)