Zadanie - nierówność liniowa
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność:
a) \(\frac{1}{2}(x-1)+x\geq 5-2(x+2)\)
b) \((x-5)^2\geq (x+4)^2\)
c) \(\frac{2x-3}{5}>\frac{1-x}{2}\)
Rozwiązanie części a)
W pierwszej kolejności pozbywamy się nawiasów po obu stronach nierówności. Następnie wyrazy z niewiadomą przenosimy na lewą stronę nierówności i pozostałe wyrazy na stronę prawą. Redukujemy wyrazy podobne i otrzymujemy wynik.
\(\frac{1}{2}(x-1)+x\geq 5-2(x+2)\)
\(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+x\geq 5-2x-4\)
\(\frac{1}{2}x+x+2x\geq \frac{1}{2}+1/\cdot 2\)
\(x+2x+4x\geq 1+2\)
\(7x\geq 3/:7\)
\(x\geq \frac{3}{7}\)
Wynik zapisujemy w postaci przedziału liczbowego.
Odpowiedź
Rozwiązanie częsci b)
W pierwszej kolejności pozbywamy się nawiasów po obu stronach nierówności. Skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Mamy więc:
\((x-5)^2\geq (x+4)^2\)
\(x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2\geq x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2\)
\(x^2-10x+25\geq x^2+8x+16\)
Następnie wyrazy z niewiadomą przenosimy na lewą stronę nierówności i pozostałe wyrazy na stronę prawą. Redukujemy wyrazy podobne i otrzymujemy wynik.
\(x^2-10x+25\geq x^2+8x+16\)
\(\cancel{x^2}-\cancel{x^2}-10x-8x\geq 16-25\)
\(-18x\geq -9/:(-18)\)
\(x\leq \frac{9}{18}\)
\(x\leq \frac{1}{2}\)
Wynik zapisujemy w postaci przedziału liczbowego.
Odpowiedź
Rozwiązanie części c)
W pierwszej kolejności pozbywamy się ułamków, mnożąc obie strony nierówności przez wspólny mianownik obu ułamków, a więc przez liczbę 10.
\(\frac{2x-3}{5}>\frac{1-x}{2}/\cdot 10\)
\(^2 \cancel{10}\cdot \frac{2x-3}{\cancel{5}}> ^5\cancel{10}\cdot \frac{1-x}{\cancel{2}}\)
\(2(2x-3)>5(1-x)\)
Następnie pozbywamy się nawiasów i wyrazy z niewiadomą przenosimy na lewą stronę nierówności i pozostałe wyrazy na stronę prawą. Redukujemy wyrazy podobne i otrzymujemy wynik.
\(2(2x-3)>5(1-x)\)
\(4x-6>5-5x\)
\(4x+5x>5+6\)
\(9x>11/:9\)
\(x>\frac{11}{9}\)
\(x> 1\frac{2}{9}\)
Wynik zapisujemy w postaci przedziału liczbowego:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-28, ZAD-651
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać nierówność \(x^2+ax<(x-a)^2\) ze względu na niewiadomą \(x\).
Zadanie nr 2.
W pewnej liczbie dwucyfrowej liczba jedności jest o 4 większa od liczby dziesiątek. Znaleźć tę liczbę, jeśli wiadomo, że jest większa od 40 i mniejsza od 50.
Zadanie nr 3.
Dziadek jest dwa razy starszy od wnuczka. Kiedy suma ich wieku przekroczy 90 lat?
Zadanie nr 4 — maturalne.
Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność \(\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\) ?
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
Zadanie nr 5 — maturalne.
Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność \(\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\) ?
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
Zadanie nr 6 — maturalne.
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(2-3x≥4\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{(1-2x)}{2}>\frac{1}{3}\) jest przedział:
- \((-\infty;\frac{1}{6})\)
- \((-\infty;\frac{2}{3})\)
- \((\frac{1}{6};+\infty)\)
- \((\frac{2}{3};+\infty)\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{(2-x)}{2}-2x\geq 1\) jest przedział
A. \(\langle 0, +\infty)\)
B. \((−\infty, 0\rangle\)
C. \((−\infty, 5\rangle\)
D. \((−\infty,\frac{1}{3}\rangle\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\leq \frac{2-x}{3}\) jest przedział
A. \((-\infty,-4]\)
B. \((-\infty,4]\)
C. \([-4,\infty)\)
D. \([4,\infty)\)