Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(|-3x+1|=2x+4\).
Rozwiązanie zadania
Zgodnie z określeniem wartości bezwzględnej mamy dwa przypadki:
Oto one:
Przypadek 1, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą dodatnią lub zerem:
\(-3x+1\geq 0\)
\(-3x\geq -1/:(-3)\)
\(x\leq \frac{1}{3}\)
Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszym równaniu bez zmiany znaku:
\(|-3x+1|=2x+4\)
\(-3x+1=2x+4\)
\(-3x-2x=4-1\)
\(-5x=3/:(-5)\)
\(x=-\frac{3}{5}\)
Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla \(x\) mniejszych lub równych \(-\frac{1}{3}\). Czy liczba \(-\frac{3}{5}\) jest mniejsza od \(-\frac{1}{3}\)? Sprawdźmy:
Ponieważ \(-\frac{3}{5}<-\frac{1}{3},\ -\frac{9}{15}<-\frac{5}{15}\) liczba \(-\frac{3}{5}\) jest rozwiązaniem równania.
Przypadek 2, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą ujemną:
\(-3x+1<0\)
\(-3x<-1/:(-3)\)
\(x<\frac{1}{3}\)
Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszym równaniu zmieniając znak wyrażenia na przeciwny:
\(|-3x+1|=2x+4\)
\(-(-3x+1)=2x+4\)
\(3x-1=2x+4\)
\(3x-2x=4+1\)
\(x=5\)
Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x większych od \(-\frac{1}{3}\). Liczba \(5\) jest większa od \(-\frac{1}{3}\), więc jest rozwiązaniem równania.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-03-06, ZAD-670
Zadania podobne
Zadanie nr 5.
Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem
\(f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}\).
Równanie \(f(x)=1\) ma dokładnie
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x−5|=(a−1)^2−4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Liczba różnych pierwiastków równania \(3x+|x-4|=0\) jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3