Zadanie - wzajemne położenie prostych
Treść zadania:
Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.
Rozwiązanie zadania
Znajdziemy najpierw równanie prostej zawierającej bok \(AB\). Odczytujemy współrzędne tych punktów (dzięki temu, że wiemy, że są to liczby całkowite nie musimy używać przybliżeń), następnie wstawiamy współrzędne tych punktów kolejno do ogólnego równania prostej \(y=ax+b\) i wyznaczamy współczynniki \(a\) oraz \(b\):
\(A(2,0), B(4,2)\)
\(y=ax+b\)
\(\begin{cases}0=a\cdot 2+b\\ 2=a\cdot 4+b\end{cases}\)
\(\underline{_-\begin{cases}0=2a+b\\ 2=4a+b\end{cases}}\)
\(-2=-2a\)
\(2a=2/:2\)
\(a=1\)
\(0=2a+b\)
\(0=2\cdot1+b\)
\(b=-2\)
\(y=x-2\)
Teraz wystarczy skorzystać z własności położenia prostych na płaszczyźnie, pamiętając że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe prostych, a proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające warunek:
Znajdziemy teraz prostą równoległą do \(y=x-2\), która zawiera bok \(CD\). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez \(y=a_1x+b_1\). Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być sobie równe, a więc są równe liczbie 1. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu \(C\) lub \(D\) do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik \(b_1\):
\(y=a_1x+b_1\)
\(a_1=1\)
\(y=x+b_1\)
\(D(0,2)\)
\(2=0+b_1\)
\(b_1=2\)
\(y=x+2\)
Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do \(y=x-2\), która zawiera bok \(BC\). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez \(y=a_2x+b_2\). Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie \(-1\). Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu \(B\) lub \(C\) do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik \(b_2\):
\(y=a_2x+b_2\)
\(a_2=-\frac{1}{1}=-1\)
\(y=-x+b_2\)
\(B(4,2)\)
\(2=-1\cdot 4+b_2\)
\(b_2=6\)
\(y=-x+6\)
Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do \(y=x-2\), która zawiera bok \(AD\). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a3x+b3. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie \(-1\). Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu \(A\) lub \(D\) do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik \(b_3\):
\(y=a_3x+b_3\)
\(a_3=-\frac{1}{1}=-1\)
\(y=-x+b_3\)
\(A(2,0)\)
\(0=-1\cdot 2+b_3\)
\(b_3=2\)
\(y=-x+2\)
Odpowiedź
\(y=-x+6\)
\(y=x+2\)
\(y=x-2\)
© medianauka.pl, 2010-03-11, ZAD-686
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dana jest prosta o równaniu \(y=-7x+5\). Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
Zadanie nr 2.
Dana jest prosta o równaniu \(y=5x+\frac{1}{5}\). Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt \(A(1,-1)\).
Zadanie nr 3.
Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty \(A(1,2), B(2,-1), C(-1,3)\).
Zadanie nr 4.
Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie \(ABC\) przedstawionym na poniższym rysunku:
Zadanie nr 5 — maturalne.
Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy:
A. \(m=2\)
B. \(m=\frac{1}{2}\)
C. \(m=\frac{1}{3}\)
D. \(m=-2\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Prosta l o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej k o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:
A. \(m=2\)
B. \(m=-2\)
C. \(m=-2-2\sqrt{2}\)
D. \(m=-2+2\sqrt{2}\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:
A. \(m=-\frac{1}{2}\)
B. \(m=\frac{1}{2}\)
C. \(m=1\)
D. \(m=2\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Proste o równaniach \(y=(2m+2)x−2019\) oraz \(y=(3m−3)x+2019\) są równoległe, gdy
A. \(m=-1\)
B. \(m=0\)
C. \(m=1\)
D. \(m=5\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=− 4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy
A. \(a=-4\) i \(b=-2\)
B. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)
C. \(a=-4\) i \(b=2\)
D. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Proste o równaniach \(y=(m−2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy
A. \(m=-\frac{5}{4}\)
B. \(m=\frac{2}{3}\)
C. \(m=\frac{11}{4}\)
D. \(m=\frac{10}{3}\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów
Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{(m-3)}{2}+\frac{9}{2}\) są równoległe, gdy
A. \(m=1\)
B. \(m=3\)
C. \(m=6\)
D. \(m=9\)
Zadanie nr 15 — maturalne.
Dane są cztery proste k, l, m o równaniach:
\(k: y=-x+1\)
\(l: y=\frac{2}{3}x+1\)
\(m: y=-\frac{3}{2}x+4\)
\(n: y=-\frac{2}{3}x-1\)
Wśród tych prostych prostopadłe są
A. proste k oraz l.
B. proste k oraz n.
C. proste l oraz m.
D. proste m oraz n.
Zadanie nr 16 — maturalne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3,5)\), gdy
A. \(a=3, b=4\)
B. \(a=-\frac{1}{3}, b=4\)
C. \(a=3, b=-4\)
D. \(a=-\frac{1}{3}, b=6\)