Nauka » Matematyka » Wyznaczanie dziedziny funkcji

Zadanie - Dziedzina funkcji

Treść zadania:

Wyznaczyć dziedzinę funkcji

a) \(f(x)=\sqrt{x^2-3x}\)

b) \(f(x)=log_{x-1}{x+1}\)

Rozwiązanie części a)

Zgodnie z określeniem pierwiastka arytmetycznego liczba pierwiastkowana musi być większa lub równa zero. Zatem:

\(x^2-3x\geq 0\)

\(x(x-3)\geq 0\)

Skorzystamy teraz z własności iloczynu dwóch liczb. Iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie liczby są dodatnie lub ujemne. Możemy więc zapisać:

\(\begin{cases} x\geq0 \\ x-3\geq 0 \end{cases}\) lub \(\begin{cases} x\leq0 \\ x-3\leq 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x\geq0 \\ x\geq 3 \end{cases}\) lub \(\begin{cases} x\leq0 \\ x\leq 3 \end{cases}\)

Zaznaczamy na osi liczbowej część wspólną pierwszego rozwiązania układu oraz część wspólną drugiego układu nierówności. Dziedziną będzie suma obu zbiorów.

Rysunek pomocniczy

Odpowiedź

\(D_f=(-\infty;0\rangle \cup \langle 3,+\infty)\)

Rozwiązanie części b)

Zgodnie z określeniem logarytmu podstawa logarytmu musi być większa od zera i różna od jedności, a liczb logarytmowana musi być większa od zera. Zatem mamy trzy warunki, które muszą być spełnione jednocześnie:

\(\begin{cases} x-1> 0 \\ x-1\neq 1 \\ x+1>0\end{cases}\)

\(\begin{cases} x> 1 \\ x\neq 2 \\ x>-1\end{cases}\)

Zaznaczamy na osi liczbowej wszystkie warunki i określamy dziedzinę funkcji:

Rysunek pomocniczy