Nauka » Matematyka » Funkcja złożona

Zadanie - składanie funkcji

Treść zadania:

Dane są funkcje:

\(f(x)=x^2, g(x)=3x+1\)
\(f(x)=3x+1, g(x)=\log{x}\)
\(f(x)=2x,\ x> 0, g(x)=\log{x}\)

Znaleźć złożenie funkcji: \((g\circ f)(x)\) i \((f\circ f)(x)\).

Rozwiązanie części a)

Złożenie funkcji nie zawsze jest możliwe. Aby to określić, trzeba mieć pewność, że przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez \(D\), a przeciwdziedzinę przez \(D^{-1}\).

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji \(f\) i \(g\).

\(D_f=\mathbb{R},\ D_f^{-1}=\mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace\)

\(D_g=\mathbb{R},\ D_g^{-1}=\mathbb{R}\)

1) Złożenie funkcji \(f\) z \(g\) oznaczamy przez \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\). Funkcja \(f(x)\) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja \(g(x)\) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej \(D_f^{-1}\) zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli \(D_g\).

\(\mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace \subset \mathbb{R}\)

\(D_f^{-1} \subset D_g\)

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji \(f\) z \(g\) musimy za zmienną \(x\) funkcji \(g\) podstawić wartość funkcji \(f\):

\((g\circ f)(x)=g[f(x)]=2(x^2)+1=3x^2+1\)

2) Złożenie funkcji \(g\) z \(f\) oznaczamy przez \(f\circ g)(x)=f[g(x)]\). Funkcja \(g(x)\) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja \(f(x)\) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej \(D_g^{-1}\) zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli \(D_f\).

\(D_g^{-1} = D_f\)

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji \(g\) z \(f\) musimy za zmienną \(x\) funkcji \(f\) podstawić wartość funkcji \(g\):

\((f\circ g)(x)=f[g(x)]=(3x+1)^2=9x^2+6x+1\)

Odpowiedź

\((g\circ f)(x)=3x^2+1, \ (f\circ g)(x)=9x^2+6x+1\)

Rozwiązanie sczęści b)

Trzeba mieć najpierw pewność, że przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez \(D\), a przeciwdziedzinę przez \(D^{-1}\).

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji \(f\) i \(g\).

\(D_f=\mathbb{R},\ D_f^{-1}=\mathbb{R})

\(D_g=\mathbb{R}_+,\ D_g^{-1}=\mathbb{R}\)

1) Złożenie funkcji \(f\) z \(g\) oznaczamy przez \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\). Funkcja \(f(x)\) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja \(g(x)\) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej \(D_f\)^{-1}]) zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli \(D_g\).

\(\mathbb{R} \not\subseteq \mathbb{R}_+\)

\(D_f^{-1} \not\subseteq D_g\)

Nie możemy więc składać funkcji.

2) Złożenie funkcji \(g\) z \(f\) oznaczamy przez \((f\circ g)(x)=f[g(x)]\). Funkcja \(g(x)\) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja \(f(x)\) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej \(D_g^{-1}\) zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli \(D_f\).

\(D_g^{-1} = D_f\)

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji \(g\) z \(f\) musimy za zmienną \(x\) funkcji \(f\) podstawić wartość funkcji \(g\):

\((f\circ g)(x)=f[g(x)]=3logx+1\)

Odpowiedź

\((f\circ g)(x)=3logx+1\)

Rozwiązanie części c)

Złożenie funkcji czasem nie jest możliwe. Aby to określić, kiedy może mieć miejsce trzeba mieć pewność, że przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez \(D\), a przeciwdziedzinę przez \(D^{-1}\).

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji \(f\) i \(g\).

\(D_f=\mathbb{R}_+,\ D_f^{-1}=\mathbb{R}_+\)

\(D_g=\mathbb{R}_+,\ D_g^{-1}=\mathbb{R}

\(D_f^{-1} = D_g\)

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji \(f\) z \(g\) musimy za zmienną \(x\) funkcji \(g\) podstawić wartość funkcji \(f\):

\((g\circ f)(x)=g[f(x)]=\log{2x}\)

\(\mathbb{R}\not\subseteq \mathbb{R}_+\)

\(D_g^{-1} \not\subseteq D_f\)

Nie możemy więc złożyć funkcji funkcji.

Odpowiedź

\((g\circ f)(x)=\log{2x}\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Dane są funkcje:

\(f(x)=\cos{x},\ g(x)=\sqrt{x}\)
\(f(x)=\sin{x},\ g(x)=x^2\)
\(f(x)=\log{x},\ g(x)=\sqrt{x}\)

Znaleźć złożenie tych funkcji: \((g\circ f)(x)\) i \((f\circ g)(x)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.