Zadanie - monotonicznośc funkcji w zbiorze
Treść zadania:
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=x^2\) jest rosnąca dla \(x>0\).
Rozwiązanie zadania
Zgodnie z definicją funkcji rosnącej, gdy prawdziwa jest implikacja: \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\) w zbiorze \(A\), to mamy do czynienia z funkcją malejącą w tym zbiorze.
Przeprowadzimy dowód wprost, czyli na podstawie prawdziwości założenia wykażemy prawdziwość tezy, czyli na podstawie założenia, że \(x_1<x_2\) wykażemy prawdziwość nierówności \(f(x_1)<f(x_2)\)
Zakładamy więc, że:
\(x_1<x_2\)
\(x_1-x_2<0\)
Obliczamy wartości funkcji:
\(f(x_1)=x_1^2\)
\(f(x_2)=x_2^2\)
Musimy wykazać, że dla dodatnich wartości \(x\) prawdziwa jest nierówność:
\(f(x_1)<f(x_2)\)
\(x_1^2>x_2^2\)
\(x_1^2-x_2^2>0\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)<0\)
Musimy teraz przeanalizować lewą stronę nierówności. Zgodnie z założeniem \(x_1-x_2\) jest liczbą ujemną. Mamy do czynienia tylko z argumentami \(x\) dodatnimi (badamy monotoniczność dla \(x>0\)), więc suma \(x_1+x_2\) również jest liczbą dodatnią. Mamy po lewej stronie nierówności iloczyn liczby ujemnej i dodatniej, który jest ujemny. Zatem powyższa nierówność jest prawdziwa. Zatem dowiedliśmy, że funkcja \(f(x)\) jest rosnąca dla \(x>0\).
© medianauka.pl, 2010-03-20, ZAD-713
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=\frac{x}{2}-3\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 2.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=5-x\) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.