Zadanie - własności logarytmów
Treść zadania:
Oblicz:
a) \(\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}\)
b) \(\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}\)
c) \(\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}\)
Rozwiązanie części a)
Skorzystamy z własności logarytmu:
przedstawiając logarytm iloczynu jako sumę logarytmów:
\(\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}=\log_{5}{25}+\log_{5}{\sqrt[3]{5}}\)
Obliczamy wartości logarytmów:
\(\log_{5}{25}=2\), bo \(5^2=25\)
\(\log_{5}{\sqrt[3]{5}}=\frac{1}{3}\), bo \(5^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5}\)
Zatem:
\(\log_{5}{25}+\log_{5}{\sqrt[3]{5}}=2+\frac{1}{3}=2\frac{1}{3}\)
Odpowiedź
\(\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}=2\frac{1}{3}\)
Rozwiązanie części b)
Skorzystamy z własności logarytmu:
\(\log_{a}(\frac{b}{c})=\log_{a}b-\log_{a}c\)
przedstawiając logarytm ilorazu jako różnicę logarytmów:
\(\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=\log_{2}{\sqrt{2}}-\log_{2}{4}\)
Obliczamy wartości logarytmów:
\(\log_{2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\), bo \(2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
\(\log_{2}{4}=2\), bo \(2^{2}=4\)
Zatem:
\(\log_{2}{\sqrt{2}}-\log_{2}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}-2=-1\frac{1}{2}\)
Odpowiedź
\(\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=-1\frac{1}{2}\)
Rozwiązanie części c)
Skorzystamy z własności logarytmu:
Mamy więc:
\(\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}=\log_{3}{\sqrt{3}}\cdot \log_{2}{16}\)
Obliczamy wartości logarytmów:
\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\), bo \(3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)
\(\log_{2}{16}=4, bo \(2^{4}=16\)
Zatem:
\(\log_{3}{\sqrt{3}}\cdot \log_{2}{16}=\frac{1}{2}\cdot 4=2\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-03-21, ZAD-723
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Oblicz wartość wyrażenia \(W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}\) dla \(a=\frac{7}{11}\) i \(b=\frac{1}{10}\).
Zadanie nr 4.
Oblicz: \(\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}\).
Zadanie nr 5.
Oblicz wartość wyrażenia: \(W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}\) dla \(x>0\).
Zadanie nr 6.
Oblicz wartość wyrażenia: \(\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}\) wiedząc, że \(\log_{16}{a}=3\) i \(a>1\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Liczba \(\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}\) jest równa:
A. \(\frac{3}{2}\)
B. \(2\)
C. \(\frac{5}{2}\)
D. \(3\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Suma \(\log_8{16}+1 jest równa
A. \(3\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(\log_8{17}\)
D. \(\frac{7}{3}\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Liczba \(2\log_2{3}-2\log_2{5}\) jest równa:
A. \(\log_2 \frac{9}{25}\)
B. \(\log_2 \frac{3}{5}\)
C. \(\log_2 \frac{9}{5}\)
D. \(\log_2 \frac{6}{25}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Liczba \(2\log_3{6}-\log_3{4}\) jest równa:
- \(4\)
- \(2\)
- \(2\log_3{2}\)
- \(\log_3{8}\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Liczba \(\log_{5}{\sqrt{125}}\) jest równa:
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(\frac{3}{2}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Suma \(2\log{\sqrt{10}}+\log{10^3}\) jest równa
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Liczba \(\log_{4}{2}+2\log_{4}{8}\) jest równa
A. \(6\log_{4}{10}\)
B. \(16\)
C. \(5\)
D. \(6\log_{4}{16}\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Liczba \(\log_{3}{\sqrt{27}}−\log_{27}{\sqrt{3}}\) jest równa
A. \(\frac{4}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{11}{12}\)
D. 3
Zadanie nr 15 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log_9{27}+\log_9{3}\) jest równa
A. 81
B. 9
C. 4
D. 2
Zadanie nr 16 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).