Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Treść zadania:
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).
Rozwiązanie zadania
Funkcja jest określona w sąsiedztwie punktu 5, za wyjątkiem punktu -1. Bierzemy pod uwagę ciąg argumentów funkcji, zbieżny do 5 o wyrazach różnych od -1 i 5.
Zatem niech:
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n}=5, \ x_n\neq 5, \ x_n\neq -1\)
Teraz tworzymy ciąg wartości funkcji, podstawiając wyraz ogólny ciąg argumentów do badanej funkcji.
\(f(x_n)=x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1}\)
Teraz skorzystamy z definicji Heinego.
Granica funkcji będzie równa granicy ciągu wartości funkcji:
\(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}=\lim_{n\to\infty}{(x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1})}=)\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n}+\frac{\lim_{n\to\infty}{x_n}-1}{\lim_{n\to\infty}{x_n}+1}=5+\frac{5-1}{5+1}=5\frac{2}{3}\)
Zwróć uwagę na fragment obliczeń zaznaczony żółtym kolorem. To miejsce, w którym często popełnia się błędy. Na początku mamy obliczyć granicę funkcji zmiennej \(x\) w punkcie 5 (\(x\) dąży do 5), ale po skorzystaniu z definicji Heinego obliczamy już granicę ciągu, a tutaj \(n\) dąży do nieskończoności, a zamiast zmiennej \(x\) mamy wyraz ciągu \(x_n\).
Otrzymaliśmy zatem odpowiedź:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-848
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).
Zadanie nr 2.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).
Zadanie nr 3.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).
Zadanie nr 4.
Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.
Zadanie nr 5.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).
Zadanie nr 6.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).
Zadanie nr 8.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).