Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego

Treść zadania:

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy wykazać, że dla każdego dodatniego \(\varepsilon\) istnieje takie sąsiedztwo \(S\) punktu \(x_0=-3\), że dla każdego \(x\) z tego sąsiedztwa spełniona jest nierówność \(|f(x)-g|<\varepsilon\).

Wykonujemy więc obliczenia dla \(x\neq -3\), dla wartości której funkcja nie jest określona, ponadto z treści zadania wynika że granicą funkcji jest \(g=-6\):

\(|f(x)-g|<\varepsilon\)

\(|\frac{x^2-9}{x+3}-(-6)|<\varepsilon\)

\(|\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}+6|<\varepsilon\)

\(|x-3+6|<\varepsilon\)

\(|x+3|<\varepsilon\)

Przyjrzyjmy się ostatniemu wyrażeniu. Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej:

\(|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a\)

Mamy więc

\(|x+3|<\varepsilon\)

\(-\varepsilon < x+3 < \varepsilon\)

\(-3-\varepsilon < x < -3+\varepsilon\)

Zilustrujmy to rysunkiem:

sąsiedztwo

Widać więc, że istnieje sąsiedztwo punktu \(-3\), jest to \(S(-3,\varepsilon)\), takie, że dla każdego \(x\) z tego sąsiedztwa i dla dowolnego dodatniego \(\varepsilon\) spełniony jest warunek \(|f(x)-g|<\varepsilon\), co należało dowieść.


© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-849

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.