Zadanie - granica funkcji w punkcie

Treść zadania:

Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z definicji Heinego, w myśl której, aby wykazać, że funkcja nie posiada granicy w punkcie \(x_0\), wystarczy wskazać dwa ciągi zbieżne do \(x_0\) o wyrazach różnych od \(x_0\) i wykazać, że odpowiadające im ciągi wartości funkcji są zbieżne do różnych granic.

Zakładamy więc:

\(a_n\neq 0, \ b_n\neq 0\)

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{a_n}=0, \ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0\)

Należy wskazać dwa różne ciągi spełniające powyższe założenie. Spójrzmy na wykres funkcji:

Wykres funkcji

Wykres podpowiada jakie ciągi przyjąć do rozważań (pokazano je na rysunku). Mamy więc:

\(a_n=\frac{1}{n}\)

\(b_n=-\frac{1}{n}\)

Budujemy pierwszy ciąg wartości funkcji:

\(f(a_n)=f(\frac{1}{n})=\frac{(\frac{1}{n})^2-|\frac{1}{n}|}{2\cdot \frac{1}{n}}=\)

Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną więc \(\frac{1}{n}>0\) i \(|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}\). Możemy więc kontynuować obliczenia:

\(=\frac{(\frac{1}{n})^2-\frac{1}{n}}{2\cdot \frac{1}{n}}=\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2}\)

Budujemy drugi ciąg wartości funkcji:

\(f(b_n)=f(-\frac{1}{n})=\frac{(-\frac{1}{n})^2-|-\frac{1}{n}|}{2\cdot (-\frac{1}{n})}=\)

Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną więc \(-\frac{1}{n}<0\) i \(|-\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}\). Możemy więc kontynuować obliczenia:

\(=\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}{-2\cdot \frac{1}{n}}=\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{-2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2}\)

Obliczamy granice ciągów wartości funkcji, najpierw dla pierwszego ciągu:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}=\lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\)

Potem dla ciągu drugiego:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{f(b_n)}=\lim_{n\to\infty}{(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2}})=-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Widać, że granice obu ciągów wartości funkcji są różne:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}\neq \lim_{n\to\infty}{f(b_n)}\)

Oznacza to, że funkcja \(f(x)\) nie ma granicy w punkcie 0.


© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-851

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.