Zadanie - granica funkcji w punkcie
Treść zadania:
Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z definicji Heinego, w myśl której, aby wykazać, że funkcja nie posiada granicy w punkcie \(x_0\), wystarczy wskazać dwa ciągi zbieżne do \(x_0\) o wyrazach różnych od \(x_0\) i wykazać, że odpowiadające im ciągi wartości funkcji są zbieżne do różnych granic.
Zakładamy więc:
\(a_n\neq 0, \ b_n\neq 0\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{a_n}=0, \ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0\)
Należy wskazać dwa różne ciągi spełniające powyższe założenie. Spójrzmy na wykres funkcji:
Wykres podpowiada jakie ciągi przyjąć do rozważań (pokazano je na rysunku). Mamy więc:
\(a_n=\frac{1}{n}\)
\(b_n=-\frac{1}{n}\)
Budujemy pierwszy ciąg wartości funkcji:
\(f(a_n)=f(\frac{1}{n})=\frac{(\frac{1}{n})^2-|\frac{1}{n}|}{2\cdot \frac{1}{n}}=\)
Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną więc \(\frac{1}{n}>0\) i \(|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}\). Możemy więc kontynuować obliczenia:
\(=\frac{(\frac{1}{n})^2-\frac{1}{n}}{2\cdot \frac{1}{n}}=\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2}\)
Budujemy drugi ciąg wartości funkcji:
\(f(b_n)=f(-\frac{1}{n})=\frac{(-\frac{1}{n})^2-|-\frac{1}{n}|}{2\cdot (-\frac{1}{n})}=\)
Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną więc \(-\frac{1}{n}<0\) i \(|-\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}\). Możemy więc kontynuować obliczenia:
\(=\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}{-2\cdot \frac{1}{n}}=\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{-2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2}\)
Obliczamy granice ciągów wartości funkcji, najpierw dla pierwszego ciągu:
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}=\lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\)
Potem dla ciągu drugiego:
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{f(b_n)}=\lim_{n\to\infty}{(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2}})=-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
Widać, że granice obu ciągów wartości funkcji są różne:
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}\neq \lim_{n\to\infty}{f(b_n)}\)
Oznacza to, że funkcja \(f(x)\) nie ma granicy w punkcie 0.
© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-851
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).
Zadanie nr 2.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).
Zadanie nr 3.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).
Zadanie nr 4.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).
Zadanie nr 5.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).
Zadanie nr 6.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).
Zadanie nr 8.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).