Zadanie - granica niewłaściwa funkcji
Treść zadania:
Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}\).
Rozwiązanie zadania
Obliczymy wartość granicy funkcji, korzystając z definicji. Bierzemy pod uwagę ciąg argumentów rozpatrywanej funkcji \(f(x)\) o wyrazach należących do sąsiedztwa \(S\) punktu \(x_0=0\), czyli o wyrazach różnych od zera. Niech ten ciąg jest zbieżny do zera.
\(x_n\neq 0\)
\(\lim_{n\to\infty}{x_n}=0\)
Przykładem takiego ciągu jest choćby \(x_n=\frac{1}{n}\), ale to może być dowolny ciąg spełniający powyższe warunki.
Obliczamy granicę funkcji, która będzie równa granicy ciągu wartości funkcji \(f(x_n)\).
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}=\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{-2}{x_n^2}}=-2\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{x_n^2}}=-\infty\)
Skąd wziął się wynik minus nieskończoność? Skorzystaliśmy tutaj z następującego twierdzenia. Ponieważ każdy wyraz ciągu jest podniesiony do drugiej potęgi, wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ciąg jest zbieżny do zera. Zatrzymajmy się tutaj na chwilę:
Skoro zgodnie z założeniem \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n}=0\), to \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n^2}= \lim_{n\to\infty}{(x_n \cdot x_n)}=0\). Wszystkie warunki są spełnione, więc możemy skorzystać z tego twierdzenia, uwzględniamy jeszcze znak minus i otrzymujemy wynik: minus nieskończoność
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-05-11, ZAD-853
