Zadanie - granica funkcji w nieskończoności
Treść zadania:
Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}\).
Rozwiązanie zadania
Obliczamy granicę funkcji w punkcie niewłaściwym (w minus nieskończoności). Mamy do czynienia z wielomianem, więc wyciągamy przed nawias niewiadomą w najwyższej potędze:
\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{[x^8(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})]}=\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{x^8}\cdot \lim_{x\to -\infty}{(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})}=\)
Znana jest granica: \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in \mathbb{R}, \ n\in \mathbb{N}\), zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci \(\frac{a}{x^n}\) jest liczba zero. Mamy więc:
\(=(0-1+0-0) \cdot \displaystyle\lim_{x\to -\infty}{x^8}=-\lim_{x\to -\infty}{x^8}=-\infty\)
Ponieważ niewiadoma jest w parzystej potędze, stąd granicą funkcji \(f(x)=x^8\) w minus nieskończoności będzie liczba plus nieskończoność. Możemy to wykazać:
Niech dany będzie pewien ciąg argumentów funkcji określony w jej dziedzinie i \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n}=-\infty\). Obliczamy granicę:
\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{x^8}=\lim_{n\to +\infty}{x_n^8}=\lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot\)
\( \cdot \displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}=\\ =+\infty\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-05-12, ZAD-859
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć:
a) \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}\)
b) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}\)
Zadanie nr 2 — maturalne.
Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że
A. \(p=-8\)
B. \(p=4\)
C. \(p=2\)
D. \(p=-2\)