Zadanie - granica prawostronna i lewostronna

Treść zadania:

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji \(f(x)=\frac{x+|x|}{x}\) w punkcie \(x_0=0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Funkcja \(f(x)\) nie jest określona w punkcie \(x_0=0\), granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie \(x_0=0\).

\(\displaystyle\lim_{x\to 0 +}{\frac{x+|x|}{x}}=\)

Dążymy do punktu zero z prawej strony, a więc z wyrazami ciągu argumentów większymi od zera. Dla wyrazów dodatnich możemy opuścić wartość bezwzględną:

\(=\displaystyle\lim_{x\to 0 +}{\frac{x+x}{x}}=\lim_{x\to 0 +}{\frac{2x}{x}}=\lim_{x\to 0 +}{2}=2\)

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie \(x_0=0\).

\(\displaystyle\lim_{x\to 0 -}{\frac{x+|x|}{x}}=\)

Dążymy do punktu zero z lewej strony, a więc z wyrazami ciągu argumentów mniejszymi od zera. Dla wyrazów ujemnych, zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, możemy opuścić wartość bezwzględną, pamiętając o zmianie znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny:

\(=\displaystyle\lim_{x\to 0 -}{\frac{x-x}{x}}=\lim_{x\to 0 -}{\frac{0}{x}}=\lim_{x\to 0 -}{0}=0\)

Obie granice nie są sobie równe, więc funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.


© medianauka.pl, 2010-05-14, ZAD-865

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=2\).

b) \(f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}\) w punkcie \(x_0=-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=1\).

b) \(f(x)=\frac{2}{x^2}\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji

\(f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases}\)

w punkcie \(x_0=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.