Zadanie - granica lewostronna i prawostronna
Treść zadania:
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
\(f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases}\)
w punkcie \(x_0=-1\).
Rozwiązanie zadania
Funkcja \(f(x)\) nie jest określona w punkcie \(x_0=-1\), zatem granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:
Najpierw obliczymy granicę prawostronną funkcji w punkcie \(x_0=-1\).
\(\displaystyle\lim_{x\to -1 +}{f(x)}=...\)
Dążymy do punktu \(-1\) z prawej strony, a więc z wyrazami ciągu argumentów większymi od \(-1\). Dla argumentów większych od \(-1\) funkcja \(f(x)\) przyjmuje postać \(5x-x^2+1\).
\(=\displaystyle\lim_{x\to -1 +}{(5x-x^2+1)}=-5-(-1)^2+1=-5\)
Obliczamy teraz granicę lewostronną funkcji w punkcie \(x_0=-1\).
\(\displaystyle\lim_{x\to -1 -}{f(x)}=...\)
Dążymy do punktu \(-1\) z lewej strony, a więc z wyrazami ciągu argumentów mniejszymi od \(-1\). Dla argumentów mniejszych od \(-1\) funkcja \(f(x)\) przyjmuje postać \(5-x\).
\(=\displaystyle\lim_{x\to -1 -}{f(x)}=\lim_{x\to -1 -}{(5-x)}=6\)
Obie granice nie są sobie równe, więc funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.
© medianauka.pl, 2010-05-14, ZAD-866
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=2\).
b) \(f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}\) w punkcie \(x_0=-3\).
Zadanie nr 2.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=1\).
b) \(f(x)=\frac{2}{x^2}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji \(f(x)=\frac{x+|x|}{x}\) w punkcie \(x_0=0\).