Zadanie - granica funkcji

Treść zadania:

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Ponieważ znamy wartość granicy funkcji \(\frac{\sin{x}}{x}\) w punkcie \(x_0=0\) (jest to liczba \(1\)), to musimy ułamek doprowadzić do takiej postaci:

\(\frac{\sin{3x}}{x}=\frac{\sin{3x}}{x}\cdot \frac{3}{3}=3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}\)

Możemy więc zapisać:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}}=\)

Zastosujemy następujące podstawienie:

\(3x=u\)

\(u\to 0\), gdy \(x\to 0\)

Mamy więc:

\(=\displaystyle\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=\)

Ponieważ granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic funkcji oraz:

\(\displaystyle\lim_{x\to a}{c}=c\)

i

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1\)

Otrzymujemy:

\(=\displaystyle\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=\lim_{u\to 0}{3} \cdot \lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=3\cdot 1=3\)

ksiązki Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=3\)

© medianauka.pl, 2010-08-29, ZAD-872

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.