Zadanie - granica funkcji w punkcie
Treść zadania:
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).
Rozwiązanie zadania
Najpierw zastosujemy wzór na sinus podwojonego kąta:
Zgodnie z nim mamy:
\(\sin{4x}=\sin{(2\cdot 2x)}=2\sin{2x}\cos{2x}\)
Podstawiamy do naszego zadania, wcześniej jednak zastosujemy jedno z działań na potęgach:
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}=\lim_{x\to 0}{(\frac{\sin{4x}}{\sin{2x}})^2}=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\sin{2x}\cos{2x}}{\sin{2x}})^2}=\)
Skracamy ułamek i otrzymujemy:
\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}{(\frac{2\cancel{\sin{2x}}\cos{2x}}{\cancel{\sin{2x}}})^2}=\lim_{x\to 0}{(2\cos{2x})^2}=\lim_{x\to 0}{(4\cos^2{2x})}=\)
W lekcji poznaliśmy jedynie wzór na granicę funkcji sinus:
Tutaj zaś mamy do czynienia z funkcją cosinus. Skorzystajmy więc z wzoru:
Zgodnie z którym mamy: \(\cos^2{2x}=1-\sin^2{2x}\). Mamy więc:
\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}{(4\cos^2{2x})}=\lim_{x\to 0}{[4(1-\sin^2{2x})]}=\lim_{x\to 0}{(4-4\sin^2{2x})}\)
Zastosujmy jeszcze podstawienie:
\(2x=u\)
\(u\to 0\), gdy \(x\to 0\)
\(=\displaystyle\lim_{u\to 0}{(4-4\sin^2{u})}=\)
\(=\displaystyle\lim_{u\to 0}{4}-\lim_{u\to 0}{4}\cdot \lim_{u\to 0}{\sin{u}}\cdot \lim_{u\to 0}{\sin{u}}=4-4\cdot \sin{0}\cdot \sin{0}=4\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-08-29, ZAD-874
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).
Zadanie nr 2.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).
Zadanie nr 3.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).
Zadanie nr 4.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).
Zadanie nr 5.
Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.
Zadanie nr 6.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).
Zadanie nr 8.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).