Zadanie - ciągłość funkcji, zadanie z parametrem
Treść zadania:
Dla jakich wartości parametru \(a\) funkcja \(f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=1\)?
Rozwiązanie zadania
Dana jest funkcja:
\(f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}\)
Aby sprawdzić ciągłość funkcji musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.
1) Obliczamy granicę funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\):
\(\lim_{x\to 1^+}{f(x)}=\lim_{x\to 1^+}{(2x^2-a)}=2\cdot 1^2-a=2-a\)
Ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od jedności. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości \(2x^2-a\) dla argumentów większych od jeden.
Obliczamy granicę lewostronną
\(\lim_{x\to 1^-}{f(x)}=\lim_{x\to 1^-}{(x-1)}=1-1=0\)
Ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od jeden. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości \(x-1\) dla argumentów mniejszych od jedności.
Ponieważ granica lewostronna i prawostronna muszą mieć taką samą wartość, to:
\(2-a=0\)
\(a=2\)
Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.
2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie \(x_0=1\):
\(f(x_0)=f(1)=2\cdot 1^2-a=2-2=0\)
3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.
Ponieważ \(\lim_{x\to 1}{f(x)}=f(1)=0\), to funkcja ta jest ciągła w tym punkcie dla \(a=2\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-01, ZAD-879
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Zbadać, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 2.
Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}\) jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zadanie nr 3.
Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=|x+1|-x\) jest ciągła w punkcie \(x_0=-1\).