Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Treść zadania:
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).
Rozwiązanie zadania
Obliczamy wartość funkcji w punkcie \(x_0=0\).
Nasza funkcja ma postać:
Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę \(0\) do wzoru funkcji za \(x\) (pierwszy wzór z powyższych w klamrze).
\(f(x_0)=f(0)=0^2=0\)
Pochodną funkcji w punkcie możemy obliczyć, korzystając ze wzoru:
Mamy tutaj jednak do czynienia z pewną trudnością, gdyż funkcja ma inną postać z lewej i prawej strony punktu \(x_0\). Musimy sprawdzić, czy istnieje granica ilorazu różnicowego prawostronną i lewostronną:
\(\displaystyle\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{h^2-0}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{h}=0\)
\(\displaystyle\lim_{h\to 0^-}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{\frac{-2h^2-0}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{(-2h)}=0\)
Fragment powyższych rachunków zaznaczony na żółto jest istotny. Ponieważ dążymy do zera z lewej strony punktu \(0\), bierzemy pod uwagę ujemne przyrosty \(h\), a zgodnie z przytoczonym wzorem funkcji, otrzymujemy w wartości funkcji obliczane zgodnie z drugim wzorem w klamrze, czyli \(-2x^2\).
Ponieważ obie granice są sobie równe, to istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie \(x_0=0\) dla przyrostu \(h\), więc funkcja \(f(x)\) jest różniczkowalna w tym punkcie i ma pochodną równą tej granicy, czyli \(f '(0)=0\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-05, ZAD-890
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=-x^2+x-1\) w punkcie \(x_0=-1\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 6.
Obliczyć pochodną funkcji
\(a) f(x)=-\frac{1}{2}\)
\(b) g(x)=x^{17}\)
\(c) h(x)=x^{\frac{1}{3}}\)
\( d) i(x)=x\)
\( e) j(x)=\sqrt{2}\)
Zadanie nr 7.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=-x+5\)
\(b) g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)
\( c) h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)
\( d) i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)
\( e) j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)
Zadanie nr 8.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=x\sin{x}\)
\(b) g(x)=\sin^2{x}\)
\(c) h(x)=x\sqrt{x}\)
Zadanie nr 9.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\)
c) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)
Zadanie nr 10.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\)
c) \(f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}\)
Zadanie nr 11.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Funkcja \(f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:
A. \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)
B. \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)
C. \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)
D. \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa
A. \(\frac{3}{4}\)
B. \(\frac{9}{4}\)
C. 3
D. \(\frac{54}{8}\)