Zadanie - pochodna funkcji
Treść zadania:
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=-x+5\)
\(b) g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)
\( c) h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)
\( d) i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)
\( e) j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)
Rozwiązanie zadania
We wszystkich podpunktach będziemy korzystać ze wzorów na obliczanie pochodnej sumy i różnicy funkcji:
\([f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)\)
Możemy więc obliczać niezależnie pochodne składników sumy i różnicy. Prawie w każdym przypadku przyda się także wzór:
który pozwoli nam wyłączyć stałą przed pochodną funkcji.
a) \(f(x)=-x+5\)
\(f'(x)=-(x)'+(5)'=-1+0=-1\)
b) \(g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)
Skorzystamy ze wzorów:
\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Wyłączając stałą przed pochodną funkcji mamy:
\(g'(x)=-5(x^2)'+2(\sqrt{x})'=-5\cdot 2x^{2-1}+\cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}\sqrt{x}}=-10x+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
c) \(h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)
Skorzystamy ze wzorów:
\((\cos{x})'=-\sin{x}\)
Mamy więc:
\(h'(x)=(\sin{x})'+2(\cos{x})'=\cos{x}-2\sin{x}\)
d) \(i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)
Skorzystamy ze wzorów:
\((tgx)'=\frac{1}{\cos^2{x}}\)
Mamy więc:
\(i'(x)=-(-\frac{1}{x^2})-\frac{1}{\cos^2{x}}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\cos^2{x}}\)
e) \(j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)
Skorzystamy ze wzoru:
Wyłączając stałą przed pochodną funkcji mamy:
\(j'(x)=3(x^3)'-2(x^2)'+(x)'-(1)'=\)
\(=3\cdot 3x^{3-1}-2\cdot 2x^{2-1}+1\cdot x^{1-1}-0=9x^2-4x+1\)
© medianauka.pl, 2010-09-08, ZAD-895
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=-x^2+x-1\) w punkcie \(x_0=-1\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 5.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć pochodną funkcji
\(a) f(x)=-\frac{1}{2}\)
\(b) g(x)=x^{17}\)
\(c) h(x)=x^{\frac{1}{3}}\)
\( d) i(x)=x\)
\( e) j(x)=\sqrt{2}\)
Zadanie nr 8.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=x\sin{x}\)
\(b) g(x)=\sin^2{x}\)
\(c) h(x)=x\sqrt{x}\)
Zadanie nr 9.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\)
c) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)
Zadanie nr 10.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\)
c) \(f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}\)
Zadanie nr 11.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Funkcja \(f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:
A. \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)
B. \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)
C. \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)
D. \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa
A. \(\frac{3}{4}\)
B. \(\frac{9}{4}\)
C. 3
D. \(\frac{54}{8}\)