Zadanie - pochodna funkcji

Treść zadania:

Obliczyć pochodną funkcji:

\(a) f(x)=-x+5\)

\(b) g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)

\( c) h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)

\( d) i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)

\( e) j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

We wszystkich podpunktach będziemy korzystać ze wzorów na obliczanie pochodnej sumy i różnicy funkcji:

\([f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)\)
\([f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)\)

Możemy więc obliczać niezależnie pochodne składników sumy i różnicy. Prawie w każdym przypadku przyda się także wzór:

\([c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)\)

który pozwoli nam wyłączyć stałą przed pochodną funkcji.

a) \(f(x)=-x+5\)

\(f'(x)=-(x)'+(5)'=-1+0=-1\)

b) \(g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)

Skorzystamy ze wzorów:

\((x^n)'=nx^{n-1}\)
\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Wyłączając stałą przed pochodną funkcji mamy:

\(g'(x)=-5(x^2)'+2(\sqrt{x})'=-5\cdot 2x^{2-1}+\cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}\sqrt{x}}=-10x+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

c) \(h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)

Skorzystamy ze wzorów:

\((\sin{x})'=\cos{x}\)
\((\cos{x})'=-\sin{x}\)

Mamy więc:

\(h'(x)=(\sin{x})'+2(\cos{x})'=\cos{x}-2\sin{x}\)

d) \(i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)

Skorzystamy ze wzorów:

\((\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}\)
\((tgx)'=\frac{1}{\cos^2{x}}\)

Mamy więc:

\(i'(x)=-(-\frac{1}{x^2})-\frac{1}{\cos^2{x}}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\cos^2{x}}\)

e) \(j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)

Skorzystamy ze wzoru:

\((x^n)'=nx^{n-1}\)

Wyłączając stałą przed pochodną funkcji mamy:

\(j'(x)=3(x^3)'-2(x^2)'+(x)'-(1)'=\)

\(=3\cdot 3x^{3-1}-2\cdot 2x^{2-1}+1\cdot x^{1-1}-0=9x^2-4x+1\)


© medianauka.pl, 2010-09-08, ZAD-895

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=-x^2+x-1\) w punkcie \(x_0=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=x^2\) w punkcie \(x_0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=|x|\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=|x|\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć pochodną funkcji

\(a) f(x)=-\frac{1}{2}\)

\(b) g(x)=x^{17}\)

\(c) h(x)=x^{\frac{1}{3}}\)

\( d) i(x)=x\)

\( e) j(x)=\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Obliczyć pochodną funkcji:

\(a) f(x)=x\sin{x}\)

\(b) g(x)=\sin^2{x}\)

\(c) h(x)=x\sqrt{x}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\)

b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\)

c) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\)

b) \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\)

c) \(f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Funkcja \(f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)

B. \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)

C. \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)

D. \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa

A. \(\frac{3}{4}\)

B. \(\frac{9}{4}\)

C. 3

D. \(\frac{54}{8}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.