Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Treść zadania:
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\)
c) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)
We wszystkich przykładach skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:
Rozwiązanie części a)
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\).
Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji (\(y=\sin{x}\) i \(y=x\)). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.
\(f'(x)=\frac{(\sin{x})'\cdot x-\sin{x}\cdot (x)'}{x^2}=\frac{\cos{x}\cdot x-\sin{x}\cdot 1}{x^2}=\frac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^2}\)
\(f'(x)=\frac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^2}\)
Rozwiązanie części b)
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\).
Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji (\(y=2x+1\) i \(y=3x-1\)). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.
\(f'(x)=\frac{(2x+1)'(3x-1)-(2x+1)(3x-1)'}{(3x-1)^2}=\frac{2(3x-1)-3(2x+1)}{(3x-1)^2}=\)
\(=\frac{\cancel{6x}-2-\cancel{6x}-3}{(3x-1)^2}=\frac{-5}{(3x-1)^2}\)
\(f'(x)=\frac{-5}{(3x-1)^2}\)
Rozwiązanie części c)
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\).
Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji (\(y=\sin{x}\) i \(y=\cos{x}\)). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.
\(f'(x)=\frac{(\sin{x})'\cos{x}-\sin{x}(\cos{x})'}{\cos^2{x}}=\frac{\cos{x}\cdot \cos{x}-\sin{x}\cdot (-\sin{x})}{\cos^2{x}}=\)
W liczniku mamy do czynienia z wzorem jedynkowym:
\(=\frac{\cos^2{x}+\sin^2{x}}{\cos^2{x}}=\frac{1}{\cos^2{x}}\)
Alternatywny, prostszy sposób:
\((\frac{\sin{x}}{\cos{x}})'=(tgx)'=\frac{1}{\cos^2{x}}\)
\(f'(x)=\frac{1}{\cos^2{x}}\)
© medianauka.pl, 2010-09-09, ZAD-897
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=-x^2+x-1\) w punkcie \(x_0=-1\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 5.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć pochodną funkcji
\(a) f(x)=-\frac{1}{2}\)
\(b) g(x)=x^{17}\)
\(c) h(x)=x^{\frac{1}{3}}\)
\( d) i(x)=x\)
\( e) j(x)=\sqrt{2}\)
Zadanie nr 8.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=-x+5\)
\(b) g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)
\( c) h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)
\( d) i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)
\( e) j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)
Zadanie nr 9.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=x\sin{x}\)
\(b) g(x)=\sin^2{x}\)
\(c) h(x)=x\sqrt{x}\)
Zadanie nr 10.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\)
c) \(f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}\)
Zadanie nr 11.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Funkcja \(f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:
A. \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)
B. \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)
C. \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)
D. \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa
A. \(\frac{3}{4}\)
B. \(\frac{9}{4}\)
C. 3
D. \(\frac{54}{8}\)