Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Treść zadania:
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).
Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.
\(f'(x)=\frac{(\sqrt[5]{x})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot (10x^8)'}{(10x^8)^2}=\frac{(x^{\frac{1}{5}})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\frac{\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\)
W obu zaznaczonych fragmentach zastosowano wzór:
czyli kolejno:
\((\sqrt[5]{x})'=(x^{\frac{1}{5}})'=\frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1}=\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5}\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\)
oraz
\((10x^8)'=10\cdot 8x^{8-1}=80x^7\)
Po uwzględnieniu powyższych rachunków mamy:
\(=\frac{\frac{1}{\cancel{5}}\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\cdot \cancel{10}^{2}x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\frac{2x^8\frac{1}{\sqrt[5]{x}}- 80x^7\sqrt[5]{x}}{100x^{16}}=\)
W liczniku wyciągniemy przed nawias czynnik \(2x^7\):
\(=\frac{\cancel{2x^7}(\frac{x}{\sqrt[5]{x}}- 40\sqrt[5]{x})}{\cancel{100}_{50}x^{\cancel{16}^{9}}}=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}-40\sqrt[5]{x}}{50x^9}=\)
Wykonujemy teraz odejmowanie w liczniku ułamka, sprowadzając liczby do wspólnego mianownika:
\(=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}-40\sqrt[5]{x}\cdot \frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\frac{\frac{x-40x}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\frac{-39x}{50x^9\sqrt[5]{x^4}}=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}\)
Wyjaśnienia może jeszcze wymagać fragment:
\(\sqrt[5]{x}\cdot \sqrt[5]{x^4}=x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{\frac{4}{5}}=x^{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}}=x^1=x\)
Skorzystaliśmy tutaj z własności działań na potęgach.
Alternatywne rozwiązanie.
Możemy też inaczej podejść do zadania. Najpierw wykonamy działania na potęgach, a potem obliczymy pochodną:
\(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}=\frac{1}{10}\cdot x^{\frac{1}{5}}:x^8=\frac{1}{10}x^{\frac{1}{5}-8}=\frac{1}{10}x^{-\frac{39}{5}}\)
\(f'(x)=(\frac{1}{10}x^{-\frac{39}{5}})'=\frac{1}{10}\cdot(-\frac{39}{5}x^{\frac{-44}{5}})=\frac{-39}{50x^{\frac{44}{5}}}=\frac{-39}{50x^{8+\frac{4}{5}}}=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-12, ZAD-901
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=-x^2+x-1\) w punkcie \(x_0=-1\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 5.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć pochodną funkcji
\(a) f(x)=-\frac{1}{2}\)
\(b) g(x)=x^{17}\)
\(c) h(x)=x^{\frac{1}{3}}\)
\( d) i(x)=x\)
\( e) j(x)=\sqrt{2}\)
Zadanie nr 8.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=-x+5\)
\(b) g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)
\( c) h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)
\( d) i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)
\( e) j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)
Zadanie nr 9.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=x\sin{x}\)
\(b) g(x)=\sin^2{x}\)
\(c) h(x)=x\sqrt{x}\)
Zadanie nr 10.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\)
c) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)
Zadanie nr 11.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\)
c) \(f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Funkcja \(f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:
A. \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)
B. \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)
C. \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)
D. \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa
A. \(\frac{3}{4}\)
B. \(\frac{9}{4}\)
C. 3
D. \(\frac{54}{8}\)