Zadanie - pochodna funkcji złożonej
Treść zadania:
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}\).
Rozwiązanie zadania
Mamy tu do czynienia z iloczynem dwóch funkcji: \(\sin^2{x}\) oraz \(\cos^2{x}\). Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną iloczynu funkcji:
Mamy więc:
\(f'(x)=(\sin^2{x})'\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot (\cos^2{x})'=\)
Mamy tutaj dwie pochodne funkcji złożonej (w obu nawiasach). Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:
W pierwszym nawiasie mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (sinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.
\(f(x)=\sin^2{x}=(\sin{x})^2\)
\(f'(x)=2\sin{x}\cdot \cos{x}\)
W drugim nawiasie mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (cosinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.
\(f(x)=\cos^2{x}=(\cos{x})^2\)
\(f'(x)=2\cos{x}\cdot (-\sin{x})\)
Mamy więc:
\(=2\sin{x}\cos{x}\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot 2\cos{x}\cdot (-\sin{x})=2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}\)
Możemy jeszcze się pokusić o przekształcenie tego wzoru w następujący sposób, korzystając z tożsamości trygonometrycznych:
\(\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}\)
Mamy więc:
\(2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}=2\sin{x}\cos{x}(\cos^2{x}-\sin^2{x})=\sin{2x}\cos{2x}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-17, ZAD-909
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\sin{2x}\)
b) \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)
c) \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\)
Zadanie nr 2.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)
b) \(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)
Zadanie nr 3.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}\).