Zadanie - pochodna funkcji złożonej

Treść zadania:

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy tu do czynienia z iloczynem dwóch funkcji: \(\sin^2{x}\) oraz \(\cos^2{x}\). Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną iloczynu funkcji:

\([f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

Mamy więc:

\(f'(x)=(\sin^2{x})'\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot (\cos^2{x})'=\)

Mamy tutaj dwie pochodne funkcji złożonej (w obu nawiasach). Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

\(h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)\)

W pierwszym nawiasie mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (sinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

\(f(x)=\sin^2{x}=(\sin{x})^2\)

\(f'(x)=2\sin{x}\cdot \cos{x}\)

W drugim nawiasie mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (cosinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

\(f(x)=\cos^2{x}=(\cos{x})^2\)

\(f'(x)=2\cos{x}\cdot (-\sin{x})\)

Mamy więc:

\(=2\sin{x}\cos{x}\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot 2\cos{x}\cdot (-\sin{x})=2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}\)

Możemy jeszcze się pokusić o przekształcenie tego wzoru w następujący sposób, korzystając z tożsamości trygonometrycznych:

\(\sin{2x}=2\sin{x}\cdot \cos{x}\)
\(\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}\)

Mamy więc:

\(2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}=2\sin{x}\cos{x}(\cos^2{x}-\sin^2{x})=\sin{2x}\cos{2x}\)

ksiązki Odpowiedź

\(f'(x)=2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}\)

© medianauka.pl, 2010-09-17, ZAD-909

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{2x}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)

c) \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.