Zadanie - pochodna funkcji złożonej
Treść zadania:
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}\).
Rozwiązanie zadania
Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną ilorazu funkcji:
Mamy więc:
\(f'(x)=\frac{(\sin{2x})'(1+\cos^2{x})-\sin{2x}(1+\cos^2{x})'}{(1+\cos^2{x})^2}=\)
Mamy tutaj dwie pochodne funkcji złożonej. Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:
W pierwszym przypadku (kolor żółty) mamy do czynienia z funkcją zewnętrzną (sinus) i wewnętrzną (\(2x\)). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.
\(f(x)=\sin{2x}\)
\(f'(x)=\cos{2x}\cdot (2x)'=2\cos{2x}\)
W drugim przypadku mamy do czynienia z sumą funkcji oraz funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (cosinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.
\(f(x)=1+\cos^2{x}\)
f'(x)=(1)'+(\cos^2{x})'=0+2\cos{x}\cdot (\cos{x})'=2\cos{x}\cdot (-\sin{x}}=-2\sin{x}\cos{x}=-\sin{2x}\)
Mamy więc:
\(f'(x)=\frac{2\cos{2x}\cdot (1+\cos^2{x})-\sin{2x}\cdot (-\sin{2x})}{(1+\cos^2{x})^2}=\)
Dalej już wykonujemy zwykłe działania w liczniku:
\(=\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+\sin^2{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-17, ZAD-910
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\sin{2x}\)
b) \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)
c) \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\)
Zadanie nr 2.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)
b) \(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)