Zadanie - pochodna drugiego rzędu

Treść zadania:

Rozwiązanie części a)

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną. Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną.

Funkcją zewnętrzną jest tutaj kwadrat, wewnętrzną cosinus podwojonego kąta (który jest również funkcją złożoną, gdzie funkcją zewnętrzną jest cosinus, a wewnętrzną \(2x\))

\(f'(x)=2cos{2x}\cdot (\cos{2x})'=2\cos2x\cdot (-sin{2x})\cdot (2x)'=-4\sin2x\cos2x\)

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu. Mamy teraz do czynienia z pochodną iloczynu dwóch funkcji zgodnie ze wzorem:

Mamy więc:

\(f^{II}(x)=(f'(x))'=-4(\sin{2x}\cdot \cos{2x})'= -4[(\sin{2x})'\cos{2x}+\sin{2x}(\cos{2x})'] =\)

\(=-4[\cos2x\cdot 2\cdot \cos{2x}+\sin{2x}(-\sin{2x}\cdot 2)]=\)

\(=-4(2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x})=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x}\)

Odpowiedź

Rozwiązanie części b)

Mamy tutaj iloraz funkcji, korzystamy więc ze wzoru na pochodną ilorazu:

Mamy więc:

\(f'(x)=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}=\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}=\)

\(=\frac{2x(\cancel{x^2}-1-\cancel{x^2}-1)}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}\)

Teraz przystępujemy do obliczenia pochodnej drugiego rzędu.

\(f^{II}(x)=(f'(x))'=[\frac{-4x}{(x^2-1)^2}]'=\frac{(-4x)'(x^2-1)^2-(-4x)[(x^2-1)^2]'}{(x^2-1)^4}=\)

\(=\frac{-4(x^2-1)^2+4x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4}=\frac{-4(x^2-1)^2+16x^2(x^2-1)}{(x^2-1)^4}=\)

\(=\frac{\cancel{(x^2-1)}[16x^2-4(x^2-1)]}{(x^2-1)^{\cancel{4}^3}}=\frac{16x^2-4(x^2-1)}{(x^2-1)^3}=\frac{16x^2-4x^2+4}{(x^2-1)^3}=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-09-18, ZAD-915

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne