Nauka » Matematyka » Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Zadanie - druga pochodna funkcji

Treść zadania:

Dla jakiej wartości argumentu $x$ druga pochodna funkcji $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ jest równa $\frac{1}{4}$ ?

Rozwiązanie zadania

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną. Mamy tutaj iloraz funkcji, korzystamy więc ze wzoru na pochodną ilorazu:

(\frac{f (x)}{g (x)})^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Mamy więc

$f^{'} (x) = \frac{(1)^{'} (x + 1) - 1 \cdot (x + 1)^{'}}{(x + 1)^{2}} = \frac{0 - 1)}{(x^{2} - 1)^{2}} = \frac{- 1}{(x + 1)^{2}}$

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu. Korzystamy z przytoczonego wyżej wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

$f^{I I} (x) = (f^{'} (x))^{'} = [\frac{- 1}{(x + 1)^{2}}]^{'} = \frac{(- 1)^{'} (x + 1)^{2} - (- 1) [(x + 1)^{2}]^{'}}{(x + 1)^{4}} =$

$= \frac{0 + 2 (x + 1)}{(x + 1)^{4}} = \frac{2}{(x + 1)^{3}}$

Szukamy takich argumentów funkcji, dla których druga pochodna jest równa 1/4. Więc przyrównujemy drugą pochodną do tej liczby

$\frac{2}{(x + 1)^{3}} = \frac{1}{4} / \cdot 4$

$\frac{8}{(x + 1)^{3}} = 1$

$\frac{8}{(x + 1)^{3}} - 1 = 0$

$\frac{8}{(x + 1)^{3}} - \frac{(x + 1)^{3}}{(x + 1)^{3}} = 0$

$\frac{8 - (x + 1)^{3}}{(x + 1)^{3}} = 0$

Ułamek jest równy zeru, jeżeli jego licznik jest równy zeru. Skorzystamy też ze wzoru skróconego mnożenia:

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Mamy więc:

$8 - (x + 1)^{3} = 0$

$8 - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) = 0$

$8 - x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

$7 - x^{3} - 3 x^{2} - 3 x = 0 / \cdot (- 1)$

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Mamy do czynienia z równaniem wielomianowym. Szukamy pierwiastków pośród dzielników wyrazu wolnego.

$W (1) = 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 7 = 0$

$W (- 1) = (- 1)^{3} + 3 \cdot (- 1)^{2} + 3 \cdot (- 1) - 7 = - 1 + 3 - 3 - 7 \neq 0$

Wykonujemy dzielenie wielomianów:

obliczenia

Nasze równanie przyjmuje postać:

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 7) = 0$

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy rozkłada się na czynniki:

$x^{2} + 4 x + 7$

$a = 1, b = 4, c = 7$

$Δ = b^{2} - 4 a c = 16 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = - 12 < 0$

Zatem trójmian ten zawsze jest różny od zera (nie ma miejsc zerowych, gdyż wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny). Skoro tak, to iloczyn $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 7)$ jest równy zeru, gdy: