Nauka » Matematyka » Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Zadanie - druga pochodna funkcji

Treść zadania:

Dla jakiej wartości argumentu \(x\) druga pochodna funkcji \(f(x)=\frac{1}{1+x}\) jest równa \(\frac{1}{4}\)?

Rozwiązanie zadania

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną. Mamy tutaj iloraz funkcji, korzystamy więc ze wzoru na pochodną ilorazu:

\((\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\)

Mamy więc

\(f'(x)=\frac{(1)'(x+1)-1\cdot (x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{0-1)}{(x^2-1)^2}=\frac{-1}{(x+1)^2}\)

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu. Korzystamy z przytoczonego wyżej wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

\(f^{II}(x)=(f'(x))'=[\frac{-1}{(x+1)^2}]'=\frac{(-1)'(x+1)^2-(-1)[(x+1)^2]'}{(x+1)^4}=\)

\(=\frac{0+2(x+1)}{(x+1)^4}=\frac{2}{(x+1)^3}\)

Szukamy takich argumentów funkcji, dla których druga pochodna jest równa 1/4. Więc przyrównujemy drugą pochodną do tej liczby

\(\frac{2}{(x+1)^3}=\frac{1}{4}/\cdot 4\)

\(\frac{8}{(x+1)^3}=1\)

\(\frac{8}{(x+1)^3}-1=0\)

\(\frac{8}{(x+1)^3}-\frac{(x+1)^3}{(x+1)^3}=0\)

\(\frac{8-(x+1)^3}{(x+1)^3}=0\)

Ułamek jest równy zeru, jeżeli jego licznik jest równy zeru. Skorzystamy też ze wzoru skróconego mnożenia:

\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

Mamy więc:

\(8-(x+1)^3=0\)

\(8-(x^3+3x^2+3x+1)=0\)

\(8-x^3-3x^2-3x-1=0\)

\(7-x^3-3x^2-3x=0/\cdot(-1)\)

\(x^3+3x^2+3x-7=0\)

Mamy do czynienia z równaniem wielomianowym. Szukamy pierwiastków pośród dzielników wyrazu wolnego.

\(W(1)=1^3+3\cdot 1^2+3\cdot 1-7=0\)

\(W(-1)=(-1)^3+3\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)-7=-1+3-3-7\neq 0\)

Wykonujemy dzielenie wielomianów:

obliczenia

Nasze równanie przyjmuje postać:

\((x-1)(x^2+4x+7)=0\)

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy rozkłada się na czynniki:

\(x^2+4x+7\)

\(a=1,\ b=4, \ c=7\)

\(\Delta=b^2-4ac=16-4\cdot 1\cdot 7=-12<0\)

Zatem trójmian ten zawsze jest różny od zera (nie ma miejsc zerowych, gdyż wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny). Skoro tak, to iloczyn \((x-1)(x^2+4x+7)\) jest równy zeru, gdy:

\(x-1=0\)

\(x=1\)