Zadanie - równanie stycznej do krzywej

Treść zadania:

Znaleźć równanie stycznej do okręgu \((x-1)^2+y^2=2\) w punkcie \((1,-\sqrt{2})\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja \((x-1)^2+y^2=2\).

Aby móc w sposób analityczny wyznaczyć równanie stycznej, musimy wyznaczyć z równania okręgu \(y\):

\(y^2=2-(x-1)^2\)

\(y=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}\)

Równanie stycznej do krzywej \(f(x)\) w punkcie \(A(x_0,y_0)\) wyraża się wzorem:

\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

Odczytujemy współrzędne punktu, przez który przechodzi styczna:

\(x_0=1, \ y_0=-\sqrt{2}\)

i obliczamy pochodną funkcji w punkcie. Mamy tutaj do czynienia z pochodną funkcji złożonej. Funkcją "zewnętrzną" jest tutaj pierwiastek, wewnętrzną funkcja znajdująca się pod pierwiastkiem, która również jest złożona.

\(f(x)=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}\)

\(f'(x)=\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [2-(x-1)^2]'=\)

\(=\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [0-2(x-1)^1] \cdot (x-1)'=\)

\(=\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [-2(x-1)]\cdot 1=\)

\(=\pm \frac{-\cancel{2}(x-1)}{\cancel{2}\sqrt{2-(x-1)^2}}=\pm \frac{x-1}{\sqrt{2-(x-1)^2}}\)

Obliczamy wartość pochodnej w punkcie \(x_0\):

\(f'(x_0)=f'(1)=\pm \frac{1-1}{\sqrt{2-(1-1)^2}}=0\)

Podstawiamy dane do wzoru i wyznaczamy równanie stycznej:

\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

\(y-(-\sqrt{2})=0\cdot (x-1)\)

\(y+\sqrt{2}=0\)

\(y=-sqrt{2}\)

Sporządźmy jeszcze rysunek. Na podstawie równania okręgu wiemy, że w przypadku naszej funkcji mamy do czynienia z okręgiem o środku w punkcie (1,0) i promieniu równym pierwiastkowi z dwóch, bo:

\((x-x_{sr})^2+(y-y_{sr})=r^2\)

\((x-1)^2+(y-1)^2=2=(\sqrt{2})^2\\ x_{sr}=1, \ y_{sr}=0\)

\(r=\sqrt{2}\)

Jak narysować okrąg o takim promieniu? Wystarczy sobie przypomnieć, że przekątna kwadratu o boku długości 1 ma właśnie długość równą pierwiastkowi z dwóch.

Styczna do okręgu

ksiązki Odpowiedź

\(y=-\sqrt{2}\)

© medianauka.pl, 2010-09-20, ZAD-925

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\frac{2}{x}\) w punkcie \((2,1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\sin{x}\) w punkcie \((\frac{\pi}{2},1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=x^3-2x^2+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Punkt \(P=(x_0,3)\) należy do wykresu funkcji \(f\). Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.