Zadanie - równanie stycznej do krzywej
Treść zadania:
Znaleźć równanie stycznej do okręgu \((x-1)^2+y^2=2\) w punkcie \((1,-\sqrt{2})\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest funkcja \((x-1)^2+y^2=2\).
Aby móc w sposób analityczny wyznaczyć równanie stycznej, musimy wyznaczyć z równania okręgu \(y\):
\(y^2=2-(x-1)^2\)
\(y=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}\)
Równanie stycznej do krzywej \(f(x)\) w punkcie \(A(x_0,y_0)\) wyraża się wzorem:
Odczytujemy współrzędne punktu, przez który przechodzi styczna:
\(x_0=1, \ y_0=-\sqrt{2}\)
i obliczamy pochodną funkcji w punkcie. Mamy tutaj do czynienia z pochodną funkcji złożonej. Funkcją "zewnętrzną" jest tutaj pierwiastek, wewnętrzną funkcja znajdująca się pod pierwiastkiem, która również jest złożona.
\(f(x)=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}\)
\(f'(x)=\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [2-(x-1)^2]'=\)
\(=\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [0-2(x-1)^1] \cdot (x-1)'=\)
\(=\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [-2(x-1)]\cdot 1=\)
\(=\pm \frac{-\cancel{2}(x-1)}{\cancel{2}\sqrt{2-(x-1)^2}}=\pm \frac{x-1}{\sqrt{2-(x-1)^2}}\)
Obliczamy wartość pochodnej w punkcie \(x_0\):
\(f'(x_0)=f'(1)=\pm \frac{1-1}{\sqrt{2-(1-1)^2}}=0\)
Podstawiamy dane do wzoru i wyznaczamy równanie stycznej:
\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
\(y-(-\sqrt{2})=0\cdot (x-1)\)
\(y+\sqrt{2}=0\)
\(y=-sqrt{2}\)
Sporządźmy jeszcze rysunek. Na podstawie równania okręgu wiemy, że w przypadku naszej funkcji mamy do czynienia z okręgiem o środku w punkcie (1,0) i promieniu równym pierwiastkowi z dwóch, bo:
\((x-x_{sr})^2+(y-y_{sr})=r^2\)
\((x-1)^2+(y-1)^2=2=(\sqrt{2})^2\\ x_{sr}=1, \ y_{sr}=0\)
\(r=\sqrt{2}\)
Jak narysować okrąg o takim promieniu? Wystarczy sobie przypomnieć, że przekątna kwadratu o boku długości 1 ma właśnie długość równą pierwiastkowi z dwóch.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-20, ZAD-925
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\frac{2}{x}\) w punkcie \((2,1)\).
Zadanie nr 2.
Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\sin{x}\) w punkcie \((\frac{\pi}{2},1)\).
Zadanie nr 3 — maturalne.
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=x^3-2x^2+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Punkt \(P=(x_0,3)\) należy do wykresu funkcji \(f\). Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\). Zapisz obliczenia.