Zadanie - monotoniczność funkcji a pochodna

Treść zadania:

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\)

Dziedzina funkcji:

\(Df=\mathbb{R}\setminus{1}\)

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną. Mamy tutaj do czynienia z pochodną ilorazu funkcji, więc stosujemy wzór:

\([\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\)

Mamy więc:

\(f'(x)=\frac{(x^2)'(x-1)-x^2(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\)

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:

\(f'(x)>0\)

\(\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}>0\)

W mianowniku ułamka mamy kwadrat, w związku z czym jest tam liczba dodatnia. Aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być większy od zera.

\(x^2-2x>0\)

\(x(x-2)>0\)

Sporządzamy wykres zmienności trójmianu kwadratowego, mamy dwa pierwiastki: 0 i 2, ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości dodatnie zaznaczono kolorem niebieskim.

Rysunek pomocniczy

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

\(x \in(-\infty;0)\cup (2;\infty)\)

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją rosnącą.

Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Mamy więc warunek:

\(f'(x)<0\)

\(\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}<0\)

W mianowniku ułamka mamy kwadrat, w związku z czym jest tam liczba dodatnia. Aby cały ułamek był ujemny, licznik musi być mniejszy od zera.

\(x^2-2x<0\)

\(x(x-2)<0\)

Korzystamy z tego samego wykresu, co wcześniej. Wartości ujemne zaznaczono kolorem różowym.

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

\(x \in (0;2)\)

Uwzgledniając dziedzinę funkcji otrzymujemy przedziały:

\(x \in (0;1)\cup (1;2)\)

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją malejącą.

ksiązki Odpowiedź

Funkcja \(f(x)\) jest rosnąca w przedziale \(x \in(-\infty;0)\cup (2;\infty)\) i malejąca w przedziale \(x \in (0;1)\cup (1;2)\).

© medianauka.pl, 2010-09-21, ZAD-927

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^3-6x+5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^2+\frac{2}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\sqrt{2}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.