Zadanie - monotoniczność funkcji a pochodna
Treść zadania:
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\)
Dziedzina funkcji:
\(Df=\mathbb{R}\setminus{1}\)
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną. Mamy tutaj do czynienia z pochodną ilorazu funkcji, więc stosujemy wzór:
Mamy więc:
\(f'(x)=\frac{(x^2)'(x-1)-x^2(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\)
Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:
\(f'(x)>0\)
\(\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}>0\)
W mianowniku ułamka mamy kwadrat, w związku z czym jest tam liczba dodatnia. Aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być większy od zera.
\(x^2-2x>0\)
\(x(x-2)>0\)
Sporządzamy wykres zmienności trójmianu kwadratowego, mamy dwa pierwiastki: 0 i 2, ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości dodatnie zaznaczono kolorem niebieskim.
Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:
\(x \in(-\infty;0)\cup (2;\infty)\)
W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją rosnącą.
Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Mamy więc warunek:
\(f'(x)<0\)
\(\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}<0\)
W mianowniku ułamka mamy kwadrat, w związku z czym jest tam liczba dodatnia. Aby cały ułamek był ujemny, licznik musi być mniejszy od zera.
\(x^2-2x<0\)
\(x(x-2)<0\)
Korzystamy z tego samego wykresu, co wcześniej. Wartości ujemne zaznaczono kolorem różowym.
Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:
\(x \in (0;2)\)
Uwzgledniając dziedzinę funkcji otrzymujemy przedziały:
\(x \in (0;1)\cup (1;2)\)
W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją malejącą.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-21, ZAD-927
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^3-6x+5\).
Zadanie nr 2.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^2+\frac{2}{x}\).
Zadanie nr 3.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\sqrt{2}+1\).