Zadanie - monotoniczność a pochodna funkcji
Treść zadania:
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^3-6x+5\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest funkcja \(f(x)=x^3-6x+5\)
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji obliczamy jej pochodną.
\(f'(x)=(x^3-6x+5)=3x^2-6+0=3x^2-6\)
Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia.
Zatem otrzymaliśmy warunek:
\(f'(x)>0\)
\(3x^2-6>0/:3\)
\(x^2-2>0\)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
i otrzymujemy
\((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})>0\)
Sporządzamy wykres zmienności trójmianu kwadratowego. Mamy tutaj do czynienia z dwoma pierwiastkami, ramiona paraboli są skierowane w górę.
Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:
\(x \in(-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};\infty)\)
W tym przedziale funkcją rośnie.
Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Zatem analogicznie:
\(f'(x)<0\)
\(3x^2-6<0/:3\)
\(x^2-2<0\)
\((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})<0\)
Korzystamy z tego samego wykresu, co wcześniej.
Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:
\(x \in (-\sqrt{2};\sqrt{2})\)
W tym przedziale funkcja maleje.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-21, ZAD-928
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\).
Zadanie nr 2.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^2+\frac{2}{x}\).
Zadanie nr 3.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\sqrt{2}+1\).