Zadanie - monotoniczność a pochodna funkcji

Treść zadania:

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^3-6x+5\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja \(f(x)=x^3-6x+5\)

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji obliczamy jej pochodną.

\(f'(x)=(x^3-6x+5)=3x^2-6+0=3x^2-6\)

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia.

Zatem otrzymaliśmy warunek:

\(f'(x)>0\)

\(3x^2-6>0/:3\)

\(x^2-2>0\)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

i otrzymujemy

\((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})>0\)

Sporządzamy wykres zmienności trójmianu kwadratowego. Mamy tutaj do czynienia z dwoma pierwiastkami, ramiona paraboli są skierowane w górę.

Rysunek pomocniczy

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

\(x \in(-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};\infty)\)

W tym przedziale funkcją rośnie.

Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Zatem analogicznie:

\(f'(x)<0\)

\(3x^2-6<0/:3\)

\(x^2-2<0\)

\((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})<0\)

Korzystamy z tego samego wykresu, co wcześniej.

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

\(x \in (-\sqrt{2};\sqrt{2})\)

W tym przedziale funkcja maleje.

ksiązki Odpowiedź

Funkcja \(f(x)\) jest rosnąca w przedziale \(x \in(-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};\infty)\) i malejąca w przedziale \(x \in (-\sqrt{2};\sqrt{2})\).

© medianauka.pl, 2010-09-21, ZAD-928

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^2+\frac{2}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\sqrt{2}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.