Zadanie - pochodna funkcji a monotoniczność

Treść zadania:

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^2+\frac{2}{x}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja \(f(x)=x^2+\frac{2}{x}\).

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną.

\(f'(x)=(x^2+\frac{2}{x})'=(x^2+2x^{-1})'=2x+2\cdot (-1)x^{-1-1}=2x-2x^{-2}=2x-\frac{2}{x^2}\)

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:

\(f'(x)>0\)

\(2x^2-\frac{2}{x^2}>0/:2\)

\(x-\frac{1}{x^2}>0\)

\(x\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}>0\)

\(\frac{x^3-1}{x^2}>0\)

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią (kwadrat dowolnej liczby jest dodatni), zatem aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być również większy od zera:

\(x^3-1>0\)

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

i otrzymujemy

\((x-1)(x^2+x+1)>0\)

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny (\(\Delta=b^2-4ac=1-4=-3\)), a ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był dodatni, pierwszy nawias również musi być dodatni. Stąd:

\(x-1>0\)

\(x>1\)

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją rosnącą.

Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Mamy więc warunek:

\(f'(x)<0\)

\(2x^2-\frac{2}{x^2}<0/:2\)

\(x-\frac{1}{x^2}<0\)

\(x\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}<0\)

\(\frac{x^3-1}{x^2}<0\)

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią, zatem aby cały ułamek był ujemny, licznik musi być mniejszy od zera:

\(x^3-1<0\)

i otrzymujemy

\((x-1)(x^2+x+1)<0\)

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny, a ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był ujemny, pierwszy nawias również musi być ujemny. Stąd:

\(x-1<0\)

\(x<1\)

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją malejącą.

W odpowiedzi należy ponadto uwzględnić dziedzinę naszej funkcji \(\mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace\).

ksiązki Odpowiedź

Funkcja \(f(x)\) jest malejąca w przedziale \((-\infty;1)\setminus \lbrace 0\rbrace\) i rosnąca w przedziale \((1;\infty)\).

© medianauka.pl, 2010-09-22, ZAD-929

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^3-6x+5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\sqrt{2}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.