Zadanie - badanie ekstremum funckji
Treść zadania:
Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest funkcja \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).
Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie \(x_0\) i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną. Mamy tutaj do czynienia z pochodną funkcji złożonej.
\(f'(x)=(\sqrt{1-x^2})'=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (1-x^2)'=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)=\frac{-\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:
\(f'(x)=0\)
\(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=0\)
Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:
\(-x=0/:(-1)\)
\(x=0\)
W punkcie \(x_0\) funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach \(x_0\):
\(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}>0\)
\(-x>0/:(-1)\)
\(x<0\)
Skąd się wziął krok w obliczeniach zaznaczony na żółto? Otóż mianownik ułamka jest dodatni, gdyż pierwiastek przyjmuje tylko dodatnie wartości. Skoro cały ułamek ma być dodatni, a mianownik jest dodatni, to licznik, czyli \(-x\) również musi być większy od zera.
Wyznaczyliśmy przedział, w którym pochodna jest dodatnia. Sprawdzimy teraz dla jakich wartości \(x\) pochodna przyjmuje ujemne wartości:
\(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}<0\)
\(-x<0/:(-1)\)
\(x>0\)
Widać, że pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, mamy więc do czynienia w punkcie \(x_0=0\) z maksimum równym:
\(f(0)=\sqrt{1-0^2}=1\)
Można się jeszcze posilić tabelką zmienności funkcji i jej pochodnej. W bardziej skomplikowanych zadaniach ułatwia określenie występowania ekstremum.
| \((-\infty;0)\) | \(0\) | \((0;+\infty)\) | |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(\nearrow\) | \(max\) \(1\) | \(\searrow\) |
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie \(x_0\) przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum równe \(1\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-22, ZAD-932
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).