Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna
Treść zadania:
Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\).
Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie \(x_0\) i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną ilorazu zgodnie ze wzorem:
Mamy więc:
\(f'(x)=(\frac{2x}{x^2+1})'=\frac{(2x)'(x^2+1)-2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}\)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:
\(f'(x)=0\)
\(\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}=0\)
Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:
\(-2x^2+2=0/:(-2)\)
\(x^2-1=0\)
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
\((x-1)(x+1)=0\)
W punktach \(-1\) i \(1\) funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:
Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:
| \((-\infty;-1)\) | \(-1\) | \((-1;1)\) | \(1\) | \((1;+\infty)\) | |
| \(f'(x)\) | - | 0 | + | 0 | - |
| \(f(x)\) | \(\searrow\) | min | \(\nearrow\) | max | \(\searrow\) |
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.
Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:
\(f_{min}(-1)=\frac{2\cdot (-1)}{(-1)^2+1}=\frac{-2}{2}=-1\)
\(f_{max}(1)=\frac{2\cdot 1}{1^2+1}=\frac{2}{2}=1\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-25, ZAD-935
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).