Zadanie - badanie przebiegu zmienności funkcji

Treść zadania:

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=x^3+x^2-5x+3\) i naszkicować jej wykres.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Określamy dziedzinę funkcji:

Dziedziną funkcji \(f(x)=x^3+x^2-5x+3\) jest zbiór liczb rzeczywistych: \(Df:R\)

Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.

Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:

\(\lim_{x\to +\infty}{(x^3+x^2-5x+3)}=\lim_{x\to +\infty}{[x^3(1+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{3}{x^3})]}=+\infty\)

\(\lim_{x\to -\infty}{(x^3+x^2-5x+3)}=\lim_{x\to -\infty}{[x^3(1+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{3}{x^3})]}=-\infty\)

Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres nie posiada asymptoty poziomej. Ponieważ nie ma też punktów, w których funkcja jest nieokreślona, nie ma też asymptot pionowych. Kiedy podzielimy wielomian (funkcję) przez \(x\), to otrzymamy wielomian w stopniu o jeden niższym, którego granica właściwa w plus i minus nieskończoności nie istnieje. Zatem wykres funkcji nie ma także asymptoty ukośnej.

Miejsca zerowe

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie wielomianowe:

\(x^3+x^2-5x+3=0\)

W pierwszej kolejności szukamy pierwiastków równania wśród podzielników wyrazu wolnego wielomianu:

\(W(1)=1^3+1^2-5\cdot 1+3=1+1-5+3=0\)

Liczba 1 jest pierwiastkiem równania. Wielomian zatem dzieli się bez reszty przez (x-1). Wykonujemy dzielenie:

(x^3+x^2-5x+3):(x-1)=x^2+2x-3\\ \ \underline{x^3-x^2}\\ \ \ \ \ \ 2x^2-5x+3\\ \ \ \ \ \ \underline{2x^2-2x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3x+3\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-3x+3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy zatem przedstawić nasze równanie w postaci:

\((x-1)(x^2+2x-3)=0\)

Trójmian w drugim nawiasie rozkładamy dalej na czynniki:

\(x^2+2x-3\)

\(a=1,\ b=2,\ c=-3\)

\(\Delta=b^2-4ac=4-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1\)

Możemy zatem przedstawić nasze równanie w postaci:

\((x-1)(x-1)(x+3)=0\)

\((x-1)^2(x+3)=0\)

Mamy zatem dwa miejsca zerowe funkcji: -3 i 1

Monotoniczność funkcji i ekstrema

Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji:

\(f'(x)=(x^3+x^2-5x+3)'=3x^2+2x-5\)

Otrzymaliśmy trójmian kwadratowy, który warto rozłożyć na czynniki. Po co? Otóż na podstawie znaku pochodnej stwierdzimy w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca, natomiast w punktach, w których pochodna jest równa zero, będziemy szukać ekstremum funkcji. Ponieważ już obliczaliśmy wyróżnik kwadratowy i pierwiastki, oznaczmy teraz te wielkości z indeksem "p" dla odróżnienia.

\(3x^2+2x-5\)

\(\Delta_p=b^2-4ac=4-4\cdot 3\cdot (-5)=4+60=64\)

\(x_{p1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta_p}}{2a}=\frac{-2-8}{6}=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3}\)

\(x_{p2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta_p}}{2a}=\frac{-2+8}{6}=1\)

Sporządzimy wykres trójmianu (pochodnej). Współczynnik przy \(x^2\)jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są w górę, mamy dwa miejsca zerowe.

Rysunek pomocniczy

Zatem pochodna jest dodatnia dla \(x<-\frac{5}{3}\) oraz dla x>1 (tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla \(x\) z przedziału (\(-\frac{5}{3};1\)) - w tym przedziale funkcja maleje

W punktach \(-\frac{5}{3}\) i \(1\) możemy mieć ekstremum, o ile zmienia się znak pochodnej. To łatwo odczytać z tabelki:


(-\infty;-\frac{5}{3})-\frac{5}{3}(-\frac{5}{3};1)1(1;+\infty)
f'(x)+0-0+
f(x)\nearrow9,48
max
\searrow0
min
\nearrow

Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punkcie \(-\frac{5}{3}\):

\(f(-\frac{5}{3})=-(\frac{5}{3})^3+(-\frac{5}{3})^2-5\cdot(-\frac{5}{3})+3\approx 9,48\)

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie \(x=-\frac{5}{3}\) przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, w punkcie \(1\) przechodzi w dolinę - funkcja ma w tym miejscu minimum.

Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.

przebieg zmienności funkcji f(x)=x^3+x^2-5x+3

© medianauka.pl, 2010-10-04, ZAD-948

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}\) i naszkicować jej wykres.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}\) i naszkicować jej wykres.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}\) i naszkicować jej wykres.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.