Zadanie - badanie przebiegu zmienności funkcji
Treść zadania:
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=x^3+x^2-5x+3\) i naszkicować jej wykres.
Rozwiązanie zadania
Określamy dziedzinę funkcji:
Dziedziną funkcji \(f(x)=x^3+x^2-5x+3\) jest zbiór liczb rzeczywistych: \(Df:R\)
Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.
Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:
\(\lim_{x\to +\infty}{(x^3+x^2-5x+3)}=\lim_{x\to +\infty}{[x^3(1+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{3}{x^3})]}=+\infty\)
\(\lim_{x\to -\infty}{(x^3+x^2-5x+3)}=\lim_{x\to -\infty}{[x^3(1+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{3}{x^3})]}=-\infty\)
Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres nie posiada asymptoty poziomej. Ponieważ nie ma też punktów, w których funkcja jest nieokreślona, nie ma też asymptot pionowych. Kiedy podzielimy wielomian (funkcję) przez \(x\), to otrzymamy wielomian w stopniu o jeden niższym, którego granica właściwa w plus i minus nieskończoności nie istnieje. Zatem wykres funkcji nie ma także asymptoty ukośnej.
Miejsca zerowe
Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie wielomianowe:
\(x^3+x^2-5x+3=0\)
W pierwszej kolejności szukamy pierwiastków równania wśród podzielników wyrazu wolnego wielomianu:
\(W(1)=1^3+1^2-5\cdot 1+3=1+1-5+3=0\)
Liczba 1 jest pierwiastkiem równania. Wielomian zatem dzieli się bez reszty przez (x-1). Wykonujemy dzielenie:
Możemy zatem przedstawić nasze równanie w postaci:
\((x-1)(x^2+2x-3)=0\)
Trójmian w drugim nawiasie rozkładamy dalej na czynniki:
\(x^2+2x-3\)
\(a=1,\ b=2,\ c=-3\)
\(\Delta=b^2-4ac=4-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1\)
Możemy zatem przedstawić nasze równanie w postaci:
\((x-1)(x-1)(x+3)=0\)
\((x-1)^2(x+3)=0\)
Mamy zatem dwa miejsca zerowe funkcji: -3 i 1
Monotoniczność funkcji i ekstrema
Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji:
\(f'(x)=(x^3+x^2-5x+3)'=3x^2+2x-5\)
Otrzymaliśmy trójmian kwadratowy, który warto rozłożyć na czynniki. Po co? Otóż na podstawie znaku pochodnej stwierdzimy w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca, natomiast w punktach, w których pochodna jest równa zero, będziemy szukać ekstremum funkcji. Ponieważ już obliczaliśmy wyróżnik kwadratowy i pierwiastki, oznaczmy teraz te wielkości z indeksem "p" dla odróżnienia.
\(3x^2+2x-5\)
\(\Delta_p=b^2-4ac=4-4\cdot 3\cdot (-5)=4+60=64\)
\(x_{p1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta_p}}{2a}=\frac{-2-8}{6}=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3}\)
\(x_{p2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta_p}}{2a}=\frac{-2+8}{6}=1\)
Sporządzimy wykres trójmianu (pochodnej). Współczynnik przy \(x^2\)jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są w górę, mamy dwa miejsca zerowe.
Zatem pochodna jest dodatnia dla \(x<-\frac{5}{3}\) oraz dla x>1 (tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla \(x\) z przedziału (\(-\frac{5}{3};1\)) - w tym przedziale funkcja maleje
W punktach \(-\frac{5}{3}\) i \(1\) możemy mieć ekstremum, o ile zmienia się znak pochodnej. To łatwo odczytać z tabelki:
+ | 0 | - | 0 | + | |
9,48 max | 0 min |
Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punkcie \(-\frac{5}{3}\):
\(f(-\frac{5}{3})=-(\frac{5}{3})^3+(-\frac{5}{3})^2-5\cdot(-\frac{5}{3})+3\approx 9,48\)
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie \(x=-\frac{5}{3}\) przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, w punkcie \(1\) przechodzi w dolinę - funkcja ma w tym miejscu minimum.
Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.
© medianauka.pl, 2010-10-04, ZAD-948
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}\) i naszkicować jej wykres.
Zadanie nr 2.
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}\) i naszkicować jej wykres.
Zadanie nr 3.
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}\) i naszkicować jej wykres.