Zadanie - badanie przebiegu zmienności funkcji
Treść zadania:
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}\) i naszkicować jej wykres.
Rozwiązanie zadania
Określamy dziedzinę funkcji:
Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc
\(x-4\neq 0\)
\(x\neq 4\)
\(Df:R\backslash \lbrace 4\rbrace\)
Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.
Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:
Aby łatwiej było obliczyć granicę funkcji podzielmy licznik przez mianownik:
Możemy więc zapisać, że
\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}=x+4+\frac{15}{x-4}\) \(\lim_{x\to +\infty}{(x+4+\frac{15}{x-4})}=+\infty\)
\(\lim_{x\to -\infty}{(x+4+\frac{15}{x-4})}=-\infty\)
Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres nie posiada asymptoty poziomej.
Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, czyli \(x=4\)
\(\lim_{x\to 4^+}{\frac{x^2-1}{x-4}}=[\frac{15}{0^+}]=\infty\)
\(\lim_{x\to 4^-}{\frac{x^2-1}{x-4}}=[\frac{15}{0^-}]=-\infty\)
Mamy więc asymptotę pionową o równaniu \(x=4\)
Sprawdzamy, czy wykres funkcji będzie miał asymptotę pochyłą:
\(\lim_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{x^2-1}{x-4}}{x}}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{x^2-1}{x^2-4x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x}}}=1\)Ponieważ istnieje powyższa granica, współczynnik kierunkowy prostej \(a=1\) (jest równy tej granicy). Wyraz wolny znajdziemy obliczając granicę:
\(\lim_{x\to \infty}{(f(x)-ax)}=\lim_{x\to \infty}{(\frac{x^2-1}{x-4}-1\cdot x)}=\lim_{x\to \infty}(\frac{x^2-1}{x-4}-x\cdot \frac{x-4}{x-4})=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-1-x^2+4x}{x-4}=\)
\(=\lim_{x\to \infty}\frac{4x-1}{x-4}=\lim_{x\to \infty}\frac{4-\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x}}=4\)
Mamy tutaj do czynienia zatem z asymptotą ukośną o równaniu: \(y=x+4\)
Miejsca zerowe
Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie:
\(\frac{x^2-1}{x-4}=0\)Ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik jest równy zeru. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia mamy więc:
\(x^2-1=0\)
\((x-1)(x+1)=0\)
Liczba -1 oraz 1 jest pierwiastkiem równania i miejscem zerowym naszej funkcji.
Monotoniczność funkcji i ekstrema
Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:
\(f'(x)=(\frac{x^2-1}{x-4})'=\frac{(x^2-1)'(x-4)-(x^2-1)(x-4)'}{(x-4)^2}=\frac{2x(x-4)-(x^2-1)\cdot 1}{(x-4)^2}=\)
\(= \frac{2x^2-8x-x^2+1}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x+1}{(x-4)^2}\)
Otrzymaliśmy trójmian kwadratowy w liczniku ułamka, którego mianownik z całą pewnością jest dodatni. Licznik warto rozłożyć na czynniki. Po co? Otóż na podstawie znaku pochodnej (co się sprowadza do znaku licznika) stwierdzimy w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca, natomiast w punktach, w których pochodna jest równa zero (licznik jest równy zero), będziemy szukać ekstremum funkcji.
\(x^2-8x+1\)
\(\Delta_p=b^2-4ac=64-4\cdot 1\cdot 1=60\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\approx 0,13\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8+2\sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15}\approx 7,87\)
Sporządzimy wykres trójmianu (pochodnej). Współczynnik przy \(x^2\)jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są w górę, mamy dwa miejsca zerowe.
Zatem pochodna jest dodatnia dla \(x<x_1\)oraz dla \(x>x_2\) (tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla \(x\) z przedziału (\(x_1;x_2\)) - w tym przedziale funkcja maleje
W punktach \(x_1\)i \(x_2\)możemy mieć ekstremum, o ile zmienia się znak pochodnej. To łatwo odczytać z tabelki:
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.
+ | 0 | - | - | 0 | + | ||
0,25 max | 15,75 min |
Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punktach, gdzie funkcja przyjmuje ekstremum:
\(f_{max}(4-\sqrt{15})=\frac{(4-\sqrt{15})^2-1}{4-\sqrt{15}-4}=\frac{16-8\sqrt{15}+15-1}{-\sqrt{15}}=\frac{(30-8\sqrt{15})\cdot (-\sqrt{15})}{-\sqrt{15}\cdot (-\sqrt{15})}=\)
\(=\frac{8\cdot 15-30\sqrt{15}}{15}=\frac{\cancel{15}(8-2\sqrt{15})}{\cancel{15}}=8-2\sqrt{15}\approx 0,25\\ f_{min}(4+\sqrt{15})=\frac{(4+\sqrt{15})^2-1}{4+\sqrt{15}-4}=\frac{16+8\sqrt{15}+15-1}{\sqrt{15}}=\frac{(30+8\sqrt{15})\cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15}\cdot \sqrt{15}}=\)
\(=\frac{8\cdot 15+30\sqrt{15}}{15}=\frac{\cancel{15}(8+2\sqrt{15})}{\cancel{15}}=8+2\sqrt{15}\approx 15,75\)
Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.
© medianauka.pl, 2010-10-05, ZAD-949
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=x^3+x^2-5x+3\) i naszkicować jej wykres.
Zadanie nr 2.
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}\) i naszkicować jej wykres.
Zadanie nr 3.
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}\) i naszkicować jej wykres.