Zadanie - badanie przebiegu zmienności funkcji
Treść zadania:
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}\) i naszkicować jej wykres.
Rozwiązanie zadania
Określamy dziedzinę funkcji:
Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc
\(2x^2-4x\neq 0/:2\)
\(x^2-2x\neq 0\)
\(x(x-2)\neq 0 \)
\(Df:R\backslash \lbrace 0,2\rbrace\)
Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.
Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:
\(\lim_{x\to +\infty}{\frac{4x+1}{2x^2-4x}}=\lim_{x\to +\infty}{\frac{\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{4}{x}}}=0\)
\(\lim_{x\to -\infty}{\frac{4x+1}{2x^2-4x}}=\lim_{x\to -\infty}{\frac{\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{4}{x}}}=0\)
Ponieważ istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres naszej funkcji posiada asymptotę pozioma: \(y=0\).
Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, czyli \(x=0\) oraz \(x=2\)
\(f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}\)
\(\lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\)
\(\lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\)
\(\lim_{x\to 2^+}f(x)=[\frac{9}{0^+}]=+\infty\)
\(\lim_{x\to 2^-}f(x)=[\frac{9}{0^-}]=-\infty\)
Mamy więc aż dwie asymptoty pionowe o równaniach \(x=0\) i \(x=2\)
Sprawdzamy, czy wykres funkcji będzie miał asymptotę pochyłą:
\(\lim_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{4x+1}{2x^2-4x}}{x}}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{4x+1}{2x^3-4x^2}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{2-\frac{4}{x}}}=\frac{0+0}{2-0}=0\)Ponieważ istnieje powyższa granica, a współczynnik kierunkowy prostej \(a=0\) (jest równy tej granicy) asymptota ukośna staje się asymptotą poziomą, której równanie już mamy (\(y=0\))
Miejsca zerowe
Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie:
\(\frac{4x+1}{2x^2-4x}=0\)Ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik jest równy zeru.
\(4x+1=0\)
\(4x=-1/:4\)
\(x=-\frac{1}{4}\)
Liczba \(-\frac{1}{4}\) jest pierwiastkiem równania i miejscem zerowym naszej funkcji.
Monotoniczność funkcji i ekstrema
Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:
\(f'(x)=\frac{(4x+1)'(2x^2-4x)-(4x+1)(2x^2-4x)'}{(2x^2-4x)^2}=\frac{4(2x^2-4x)-(4x+1)(4x-4)}{(2x^2-4x)^2}=\)
\(\frac{8x^2-16x-(16x^2-16x+4x-4)}{(2x^2-4x)^2}=\frac{8x^2-16x-16x^2+12x+4}{(2x^2-4x)^2}=\frac{-8x^2-4x+4}{(2x^2-4x)^2}\)
Otrzymaliśmy trójmian kwadratowy w liczniku ułamka, którego mianownik z całą pewnością jest dodatni. Licznik warto rozłożyć na czynniki. Po co? Otóż na podstawie znaku pochodnej (co się sprowadza do znaku licznika) stwierdzimy w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca, natomiast w punktach, w których pochodna jest równa zero (licznik jest równy zero), będziemy szukać ekstremum funkcji.
\(-8x^2-4x+4\)
\(\Delta=b^2-4ac=16-4\cdot(-8)\cdot 4=144\)
\(\sqrt{\Delta}=12\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4-12}{-16}=\frac{1}{2}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4+12}{-16}=-1\)
Sporządzimy wykres trójmianu (pochodnej). Współczynnik przy \(x_2\)jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół, mamy dwa miejsca zerowe.
Zatem pochodna jest ujemna dla \(x<-1\) oraz dla \(x>\frac{1}{2}\) (tutaj funkcja maleje). Pochodna jest dodatnia dla x z przedziału \((-1;\frac{1}{2}\)) - w tym przedziale funkcja rośnie
W punktach \(x=-1\) i \(x=\frac{1}{2}\) możemy mieć ekstremum, o ile zmienia się znak pochodnej. To łatwo odczytać z tabelki:
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.
(-∞;-1) | -1 | (-1;0) | 0 | (0;½) | ½ | (½;2) | 2 | (2;+∞) | |
- | 0 | + | + | 0 | - | - | |||
-1/2 min | -2 max |
Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punktach, gdzie funkcja przyjmuje ekstremum:
\(f_{min}(\frac{1}{2})=\frac{4\cdot \frac{1}{2}+1}{2\cdot(\frac{1}{2})^2-4\cdot \frac{1}{2}}=\frac{2+1}{\frac{1}{2}-2}=\frac{3}{-\frac{3}{2}}=-3\cdot \frac{2}{3}=-2\)
\(f_{max}(-1)=\frac{4\cdot (-1)+1}{2\cdot(-1)^2-4\cdot (-1)}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}\)
Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.
© medianauka.pl, 2010-10-05, ZAD-950
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=x^3+x^2-5x+3\) i naszkicować jej wykres.
Zadanie nr 2.
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}\) i naszkicować jej wykres.
Zadanie nr 3.
Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}\) i naszkicować jej wykres.