Nauka » Matematyka » Całka nieoznaczona

Zadanie - obliczanie całek

Treść zadania:

Oblicz \(\int{(x^3+x^2-x+2)}dx\).

Rozwiązanie zadania

Korzystamy addytywności całki względem funkcji podcałkowej:

\(\int{[f(x)+g(x)]dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}\)

Mamy więc:

\(\int{(x^3+x^2-x+2)}dx=\int{x^3dx}+\int{x^2dx}-\int{xdx}+\int{2dx}=\)

Obliczamy każdą z całek, korzystając z podstawowych wzorów:

\(\int{x^n dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\\ \int{kdx}=kx+C\)

Mamy więc:

\(=\frac{1}{4}x^4+C_1+\frac{1}{3}x^3+C_2-\frac{1}{2}x^2+C_3)+2x+C_4=\)

Ponieważ \(C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4\) są liczbami stałymi, możemy zastąpić je inną liczbą stałą: \(C=C_1+C_2-C_3+C_4\)

\(=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x+C_1+C_2-C_3+C_4=\)

\(=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x+C\)

\(\int{(x^3+x^2-x+2)}dx=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x+C\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadanie nr 1.

Oblicz:

a) \(\int \frac{dx}{\sqrt{x}}\)

b) \(\int \sqrt{x}dx\)

Zadanie nr 2.

Oblicz:

a) \(\int \sqrt[3]{x}dx\)

b) \(\int x^{12}dx\)

Zadanie nr 3.

Oblicz:

a) \(\int 0dx\)

b) \(\int (-\frac{1}{2}\sqrt{2})dx\)

Zadanie nr 4.

Oblicz \(\int{8x(x-1)(x+1)}dx\).

Zadanie nr 5.

Oblicz \(\int{3[(x+3)^3+1]dx}\).

Zadanie nr 6.

Oblicz \(\int{2\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}}dx}\).