Nauka » Matematyka » Całka nieoznaczona

Zadanie - obliczanie całek

Treść zadania:

Oblicz \(\int{3[(x+3)^3+1]dx}\).

Rozwiązanie zadania

Wyłączamy stałą przed znak całki:

\(\int{3[(x+3)^3+1]dx}=3\int{[(x+3)^3+1]dx}=\)

Przekształcamy funkcję podcałkową, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

\(=3\int{(x^3+9x^2+27x+27+1)dx}=3\int{(x^3+9x^2+27x+28)dx}=\)

Korzystamy z addytywności całki względem funkcji podcałkowej:

\(\int{[f(x)+g(x)]dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}\)

Mamy więc:

\(=3\int{x^3dx}+3\int{9x^2dx}+3\int{27xdx}+3\int{28dx}=\)>

Obliczamy każdą z całek, korzystając ze wzorów:

\(\int{x^n dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

\(\int{kdx}=kx+C\)

Mamy więc:

\(=3(\frac{1}{4}x^4+C_1)+3(9\cdot \frac{1}{3}x^3+C_2)+3(27\cdot \frac{1}{2}x^2+C_3)+3(28x+C_4)=\)

\(=\frac{3}{4}x^4+9x^3+\frac{81}{2}x^2+84x+C\)

Ponieważ \(C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4\) są liczbami stałymi, możemy zastąpić je inną liczbą stałą: \(C=3C_1+3C_2+3C_3+3C_4\)

Odpowiedź

\(\int{3[(x+3)^3+1]dx}=\frac{3}{4}x^4+9x^3+\frac{81}{2}x^2+84x+C\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Oblicz:

a) \(\int \frac{dx}{\sqrt{x}}\)

b) \(\int \sqrt{x}dx\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz:

a) \(\int \sqrt[3]{x}dx\)

b) \(\int x^{12}dx\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz:

a) \(\int 0dx\)

b) \(\int (-\frac{1}{2}\sqrt{2})dx\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Oblicz \(\int{(x^3+x^2-x+2)}dx\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Oblicz \(\int{8x(x-1)(x+1)}dx\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz \(\int{2\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.