Nauka » Matematyka » Całka nieoznaczona

Zadanie - obliczanie całek

Treść zadania:

Oblicz \(\int{2\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}}dx}\).

Rozwiązanie zadania

Wyłączamy stałą przed znak całki:

\(\int{2\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}}dx}=2\int{(\frac{\cancel{\sqrt{x}}}{x\cancel{sqrt{x}}}-\frac{\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}})dx}=\)

Przekształcamy funkcję podcałkową, korzystając z własności potęg i pierwiastków:

\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\)

\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

oraz korzystamy z addytywności całki względem funkcji podcałkowej:

\(\int{[f(x)+g(x)]dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}\)

Mamy więc:

\(=2\int{\frac{1}{x}dx}-2\int\frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^1\cdot x^{\frac{1}{2}}}dx=2\ln{|x|}+C_1-2\int{x^{\frac{1}{4}-1-\frac{1}{2}}dx}=2\ln{|x|}+C_1-2\int{x^{-\frac{5}{4}}dx}=\)

Obliczamy ostatnią z całek, korzystając ze wzoru:

\(\int{x^n dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

Mamy więc:

\(=2\ln{|x|}+C_1-2\frac{x^{-\frac{5}{4}+1}}{-\frac{5}{4}+1}+C_2=2\ln{|x|}+C_1-2\frac{x^{-\frac{1}{4}}}{-\frac{1}{4}}+C_2=2\ln{|x|}+\frac{8}{\sqrt[4]{x}}+C\)

Ponieważ \(C_1,\ C_2\) są liczbami stałymi, możemy zastąpić je inną liczbą stałą: \(C=C_1+C_2\)