Zadanie - obliczanie całek

Treść zadania:

Obliczyć \(\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dana jest całka, którą oznaczmy literą \(A\):

\(A=\int{3sin^2{x}\cos{x}dx}\)

Zastosujemy metodę podstawienia. Wykorzystujemy w związku z tym wzór:

\(\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}\)

Spójrzmy na lewą stronę powyższego wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna funkcji sinus jest równa funkcji cosinus.

\((\sin{x})'=\cos{x}\)

Wyjmujemy stałą przed znak całki:

\(A=\int{3sin^2{x}\cos{x}dx}=3\int{sin^2{x}\cos{x}dx}\)

Stosujemy więc podstawienie:

\(\sin{x}=u\)

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - \(dx\) oznacza pochodną względem zmiennej \(x\)):

\(\cos{x}dx=du\)

Otrzymujemy więc:

\(A=3\int{sin^2{x}\cos{x}dx}=3\int{u^2du}\)

Teraz obliczamy całkę, korzystając z podstawowego wzoru:

\(\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

Mamy więc:

\(A=3\int{u^2du}=3\cdot \frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\cancel{3}\cdot \frac{u^3}{\cancel{3}}+C=u^3+C\)

Wracamy do zmiennej \(x\):

\(A=u^3+C=\sin^3{x}+C\)

ksiązki Odpowiedź

\(\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}=\sin^3{x}+C\)

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-967

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Oblicz \(\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz \(\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz \(\int{2^{2x}\ln{2}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.