Zadanie - obliczanie całek
Treść zadania:
Oblicz \(A=\int{x\cos{x}dx}\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest całka, którą oznaczmy literą \(A\):
\(A=\int{x\cos{x}dx}\)
Zastosujemy metodę całkowania przez części, korzystając ze wzoru:
Mamy tu iloczyn dwóch funkcji: \(x\) oraz \(cosx\). We wzorze na całkowanie przez części jedna z funkcji pod całką to \(u\), druga to pochodna dv:
\(u=x, \ dv=\cos{x}dx\)
Obliczamy pochodną funkcji u i wyznaczamy funkcję \(v\), obliczając całkę z \(dv\) (możemy tutaj pominąć stałą C):
\(du=dx, \ v=\int{\cos{x}dx}=\sin{x}\)
(używamy tutaj notacji "d", gdyż mamy tutaj do czynienia z różnymi funkcjami i łatwiej się nią posługiwać. Pochodną funkcji \(f(x)=x\) jest liczba 1, skoro \(u=x\) to \(du\) (pochodna funkcji \(u\)) jest równa \((x)'=1\), czyli dx
Stosujemy teraz przytoczony wyżej wzór na całkowanie przez części:
\(A=uv-\int{vdu}=x\sin{x}-\int{\sin{x}dx}=x\sin{x}+\cos{x}+C\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-971
