Zadanie - Obliczanie całek
Treść zadania:
Obliczyć \(A=\int{(\ln{x})^3dx}\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest całka, którą oznaczmy literą \(A\):
\(A=\int{(\ln{x})^3dx}\)
Zastosujemy metodę całkowania przez części, korzystając ze wzoru:
Mamy tu iloczyn funkcję \(u\) (logarytm naturalny podniesiony do trzeciej potęgi) oraz pochodną \(dv\)=\(dx\):
\(u=(\ln{x})^3, \ dv=dx\)
Obliczamy pochodną funkcji \(u\) (pochodna funkcji złożonej) i wyznaczamy funkcję \(v\), obliczając całkę z \(dv\) (możemy tutaj pominąć stałą C):
\(du=3(\ln{x})^2\cdot \frac{1}{x}, \ v=\int{dx}=x\)
Stosujemy teraz przytoczony wyżej wzór na całkowanie przez części:
\(A=uv-\int{vdu}=x(\ln{x})^3-\int{\cancel{x}\cdot 3(\ln{x})^2\cdot \frac{1}{\cancel{x}}dx}=x(\ln{x})^3-3\int{(\ln{x})^2dx}\)
Otrzymaliśmy podobną całkę jak w przypadku całki, którą mamy obliczyć, jednak stopień potęgi jest o jeden mniejszy. Możemy więc tą samą metodą wykonywać dalsze obliczenia:
Obliczamy niżej tylko całkę z logarytmu naturalnego podniesionego do kwadratu:
\(A_1=\int{(\ln{x})^2dx}\)
\(u=(\ln{x})^2, \ dv=dx\)
\(du=2\ln{x}\cdot \frac{1}{x}dx, \ v=x\)
\(A_1=x(\ln{x})^2-\int{x\cdot 2\ln{x}\cdot \frac{1}{x}dx}=x(\ln{x})^2-2\int{\ln{x}dx}\)
Otrzymaliśmy całkę z logarytmu i skorzystamy znów z tej samej metody całkowania przez części
\(A_2=\int{\ln{x}dx}\)
\(u=\ln{x}, \ dv=dx\)
\(du=\frac{1}{x}dx, \ v=x\)
\(A_2=x\ln{x}-\int{x\cdot \frac{1}{x}dx}=x\ln{x}-x\)
Wstawiamy obliczone całki do naszego wzoru i otrzymujemy:
Otrzymaliśmy całkę z logarytmu i skorzystamy znów z tej samej metody całkowania przez części
\(A=x(\ln{x})^3-3\int{(\ln{x})^2dx}=x(\ln{x})^3-3[x(\ln{x})^2-2\int{\ln{x}dx}]=\)
\(=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6\int{\ln{x}dx}=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6(x\ln{x}-x)+C=\)
\(=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6x\ln{x}-6x+C\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-972
