Zadanie - wzajemne położenie prostych

Treść zadania:

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?


ksiązki Rozwiązanie zadania

Liczbę wyznaczonych prostych przez n punktów, z których każde 3 nie są współliniowe możemy policzyć, korzystając z pojęcia kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego.

Mamy więc zbiór n-elementowy punktów. Wybieramy dwa dowolne punkty, które zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej wyznaczają jedną prostą (wybieramy 2 elementy ze zbioru n-punktów, czyli \(k=2)\). Kolejność wyboru punktów nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy punkt A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak tworzymy jedną prostą między nimi. Punkty są różne i nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne punkty), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru n-elementowego. (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje.) Liczbę kombinacji oraz liczbę przekątnych x obliczamy następująco:

\(C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Dla k=2 mamy:

\(=C_{n}^2={n\choose 2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\)

Zauważmy, że zgodnie z definicją silni n!=1∙2∙3∙...∙n. Co stoi w ciągu przed n? Oczywiście liczbą o 1 mniejsza. Można więc napisać: n!=1∙2∙3∙...∙(n-2)(n-1)n=(n-2)!(n-1)n. Wykorzystamy to w naszym wyrażeniu:

\(=\frac{\cancel{(n-2)!}(n-1)n}{2\cancel{(n-2)!}}=\frac{n(n-1)}{2}\)

ksiązki Odpowiedź

\(\frac{n(n-1)}{2}\)

© medianauka.pl, 2010-10-16, ZAD-976

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(C_{x+2}^{2}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.