Nauka » Matematyka » Aksjomaty planimetrii

Zadanie - odległość punktów

Treść zadania:

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty \(A, B, C\), że

a) \(|AB|=10, |AC|=5, |BC|=5\)

b) \(|AB|=10, |AC|=4, |BC|=5\)

c) \(|AB|=10, |AC|=6, |BC|=5\)

Rozwiązanie zadania

Posługujemy się aksjomatem o odległości. Wszystkie odległości są nieujemne, więc spełniony jest warunek 1. Oddzielnie dalej będziemy rozpatrywać trzy podpunkty

a) \(|AB|=10, |AC|=5, |BC|=5\)

Od razu tutaj widać, że \(|AB|=|AC|+|BC|\), bo \(10=5+5\). Spełniony więc jest warunek 3, a punkty są współliniowe.

b) \(|AB|=10, |AC|=4, |BC|=5\)

Od razu tutaj widać, że żadna z równości w warunku 3 aksjomatu nie jest spełniona, więc punkty nie mogą być współliniowe (suma dowolnych dwóch odległości nie da trzeciej odległości). Sprawdzamy przypadek, gdy punkty są niewspółliniowe, czyli prawdziwość trzech nierówności: \(|AB|+|BC|>|AC| i |BC|+|CA|>|BA| i |CA|+|AB|>|CB|\) (wszystkie muszą być prawdziwe).

\(|AB|+|BC|>|AC|, 10+5>4\) - nierówność prawdziwa
\(|BC|+|CA|>|BA|, 5+4>10\) - nierówność nieprawdziwa, więc jeden z warunków aksjomatu nie jest spełniony - takie punkty nie istnieją

c) \(|AB|=10, |AC|=6, |BC|=5\)

\(|AB|+|BC|>|AC|, 10+6>5\) - nierówność prawdziwa
\( |BC|+|CA|>|BA|, 5+6>10\) - nierówność prawdziwa
\(|CA|+|AB|>|CB|, 6+10>5\) - nierówność prawdziwa

Wszystkie nierówności są prawdziwe, więc punkty takie istnieją i są niewspółliniowe.

Odpowiedź

a) tak, b) nie, c) tak

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Sprawdzić, czy punkty \(A, B, C\) są współliniowe (kolinearne), jeżeli:

a) \(|AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5\)

b) \(|AB|=4+2\sqrt{3}, |BC|=2+\sqrt{3} ,|AC|=3\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Punkty \(A, B, C\) są współliniowe i \(|AB|=7, |BC|=6\). Jaką liczbą jest \(|AC|\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dane są odcinki o długościach \(|AB|=5, |BC|=8\). Jaką długość powinien mieć odcinek \(\overline{AC}\), aby można było zbudować trójkąt \(ABC\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)

B. \(a=4\)

C. \(a=3\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.