Zaokrąglanie liczb

Zaokrągleń używamy w życiu codziennym. Dla przykładu, jeżeli cena towaru wynosi 12 zł 02 gr, często powiemy, że coś kosztuje po prostu 12 złotych, uznając 2 grosze za mało istotne. Zaokrąglenia stosujemy w księgowości, kiedy musimy prawidłowo wyrazić kwotę w pełnych złotych, lub złotych i groszach, a kalkulator wynik działania podaje z dokładnością do więcej niż dwóch miejsc po przecinku. W tych i wielu innych przypadkach stosujemy ściśle określone metody zaokrąglania liczb.

Przy zaokrąglaniu znak równości zmienia się na znak zaokrąglenia „≈”.

Przykłady

Kalkulator

Poniżej zamieszczamy prosty kalkulator — program zaokrąglający liczbę z określoną dokładnością.

Kalkulator
Podaj liczbę:

Zaokrąglij.

Wynik:

Cyfry znaczące

Cyfry znaczące to wszystkie cyfry, które wnoszą wkład w precyzję liczby (wyniku pomiaru). Ustalane są według następujących zasad:

• Wszystkie cyfry niezerowe (1,2,…,9) są znaczące.
• Zera uwięzione (znajdujące się pomiędzy cyframi niezerowymi) są znaczące (np. 407).
• Zera początkowe (prowadzące, po lewej stronie pierwszej cyfry niezerowej) nigdy nie są znaczące (np. 0,0012).
• Zera końcowe są znaczące tylko wtedy, gdy:
  • Liczba zawiera przecinek dziesiętny (np. 12,00 ma 4 cyfry znaczące).
  • Lub dodano przecinek na końcu liczby całkowitej, aby wskazać precyzję (np. 500, ma 3 cyfry znaczące).

Zatem, w przypadku liczb całkowitych bez przecinka dziesiętnego (np. 500), zera końcowe (służące do określenia rzędu wielkości) nie są znaczące, o ile nie określono inaczej.

Przykłady

Zaokrąglenie do N cyfr znaczących polega na takim zaokrągleniu liczby, aby w efekcie miała N cyfr znaczących.

Przykład

Rząd liczby

Często chcemy zaokrąglić liczbę, określając jej rząd.

Jeżeli mówimy, że chcemy zaokrąglić liczbę do części dziesiątych, pozostawiamy tylko jedną cyfrę po przecinku (po zaokrągleniu), setnych części — 2 cyfry po przecinku, tysięcznych części — 3 i tak dalej.

Jeżeli chcemy zaokrąglić do pełnych dziesiątek, setek, tysięcy i tak dalej, zaokrąglamy tak, aby otrzymać liczby całkowite o minimum o 1, 2, 3, ... zerach „na końcu” po zaokrągleniu.

Przykłady

Zaokrąglanie liczb dziesiętnych

Liczby dziesiętne możemy zaokrąglać z dokładnością do określonej liczby cyfr po przecinku.

Ciekawostki

Zapis wyników pomiaru i cyfry znaczące

Liczbę będącą wynikiem pomiaru należy zapisać z taką precyzją, jaką oferuje przyrząd pomiarowy. Zgodnie z konwencją, ostatnia zapisana cyfra wyniku pomiaru powinna znajdować się w tym samym rzędzie, co niepewność (dokładność) pomiaru.

Zasada: W wyniku pomiaru tylko jedna cyfra (ostatnia) jest niepewna – znajduje się ona na rzędzie dokładności przyrządu, pozostałe cyfry traktujemy jako pewne.

Przykład: Jeśli ważysz próbkę na wadze o dokładności ±0,0001 g (czwarte miejsce po przecinku) i waga wskazuje 0,2740 g, to poprawny zapis wyniku pomiaru to:

0,2740 g

W tym zapisie wszystkie cztery cyfry po przecinku są cyframi znaczącymi, ponieważ wskazują one precyzję pomiaru do 0,0001 g. Ostatnia cyfra (zero na czwartym miejscu po przecinku) jest cyfrą niepewną – jej wartość obarczona jest błędem rzędu dokładności przyrządu.

Wniosek: Surowy wynik pomiaru zapisujemy z pełną precyzją, jaką umożliwia przyrząd (nie ucina się ostatnich cyfr „dla wygody”). Dopiero na dalszych etapach obliczeń można ewentualnie zaokrąglać wyniki, zgodnie z zasadami cyfr znaczących.

Istnieje jeszcze inny sposób zaokrąglania liczb, który jest nieco dokładniejszy, ale ma zastosowanie dla dużych zbiorów liczb, otrzymywanych w wyniku różnego rodzaju pomiarów. Dla cyfr mniejszych i większych od 5 jest analogiczny do metody standardowej. Natomiast jeśli po prawej stronie zaokrąglanej cyfry znajduje się 5 i za nią kolejne cyfry, wtedy zaokrąglamy w górę: 0,3852 ≈ 0,39. Jeśli jednak 5 jest ostatnią cyfrą, wówczas zaokrąglamy tak, żeby zostawić na końcu liczbę parzystą: 0,45 ≈ 0,4; 0,35 ≈ 0,4. W szkołach tej metody nie stosujemy.

Zaokrąglanie liczb w Excelu

Przyjrzyj się sumie liczb z arkusza kalkulacyjnego na ilustracji. Przecież 1,6 + 1,5 + 1,6 = 4,7, a nie 4,6! Dzieje się tak wówczas, gdy w komórkach arkusza kalkulacyjnego wpisujemy liczby z większą dokładnością, niż są wyświetlane. W rzeczywistości w naszym przykładzie w komórki arkusza zostały wpisane liczby 1,55, 1,5 i 1,57 co daje wynik 4,62. Zatem po użyciu w Excelu ikony „Zmniejsz dziesiętne” ( ), liczby będą wyświetlane z mniejszą dokładnością i będą zaokrąglane, jednak w pamięci komórki pozostają liczby niezaokrąglone. Zatem liczba 1,55 będzie wyświetlana jako 1,6, 1,5 jako 1,5, 1,57 jako 1,6. Sumowanie odbywa się po liczbach 1,55, 1,5, 1,57, a nie po liczbach 1,6, 1,5 i 1,6, więc otrzymany wynik 4,62, który jest zaokrąglany przy wyświetlaniu do 4,6, choć pamiętajmy, że w pamięci komórki nadal figuruje liczba 4,62.

Aby zaokrąglić liczbę w programie Excel, należy użyć funkcji "=ZAOKR()" lub kilku jej innych wersji (zobacz odpowiedzi na pytania na końcu tego artykułu).

Pytania

Ćwiczenia

Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.

1

2

3

4 5 6 7 8

Nie jesteś zalogowany.

Z jajka nic się nie wykluje, a Twoja populacja dziobaków nie przetrwa po opuszczeniu strony... Zaloguj się

Aby otworzyć złote jaja, musisz posiadać Plan Premium.

Zadania z rozwiązaniami

Powiązane materiały

Podzielność liczb

Liczby pierwsze

Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Największy wspólny dzielnik NWD

Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW

Właściwości liczb rzeczywistych

Zaokrąglanie

QUIZ

Zaokrąglanie — quiz

© medianauka.pl, 2008-11-16, A-109/126
Data aktualizacji artykułu: 2026-01-19